期望和 Cholesky 分解
假設隨機向量 $ (X,Y) $ 是（雙變數）正態分佈。顯示
$$ \Bbb E[X|Y=y]= \Bbb E[X]+ \frac {Cov[X,Y]}{Var[Y]}(y-\Bbb E[Y]) $$ 還，
$$ Var[X|Y=y]= (1-\rho^2) Var[X] $$ 我知道我應該將這些變數轉換為標準法線，然後使用 Cholesky 分解來得出獨立的標準法線，我已經非常接近答案了，但是它並不整潔。我可能做錯了什麼，有人可以列出將 X&Y 轉換為標準法線的第一步嗎？非常感謝
通過 Cholesky 分解，可以表示正態隨機變數 $ X $ 和 $ Y $ 在表格中
$$ \begin{align*} Y &= E(Y) + \sqrt{Var(Y)}, \xi,\ X &= E(X) + \sqrt{Var(X)}\left(\rho \xi+\sqrt{1-\rho^2} \eta\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $ 是相關性， $ \xi $ 和 $ \eta $ 是兩個獨立的標準正態隨機變數。 然後，
$$ \begin{align*} E(X \mid Y) &= E\left(E(X) + \sqrt{Var(X)}\left(\rho \xi+\sqrt{1-\rho^2} \eta\right) \mid \xi \right)\ &=E(X) + \rho \sqrt{Var(X)}\xi\ &=E(X) + \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(Y)}}\xi\ &=E(X) + \frac{Cov(X, Y)}{Var(Y)}\big(Y-E(Y) \big). \end{align*} $$ 計算為 $ Var(X\mid Y) $ 是相似的，具體來說， $$ \begin{align*} Var(X \mid Y) &=E\left((X-E(X\mid Y))^2\mid Y \right)\ &=E\left( (X-E(X\mid Y))^2\mid \xi\right)\ &=E\left(Var(X)(1-\rho^2) \eta^2 \mid \xi\right)\ &=E\left(Var(X)(1-\rho^2) \eta^2\right)\ &=Var(X)(1-\rho^2). \end{align*} $$