shreve 的金融隨機演算 II 第 90 頁上的表達式
嗨：在第 90 頁的中間，Shreve 有一個表達式暗示（我正在使用 $ t $ 他在哪裡使用 $ u $ 只是因為我覺得使用起來很混亂 $ u $ 和 $ \mu $ 在相同的表達式中）：
$ E[\exp(\dfrac{t}{\sqrt{n}} X_{j})] = \left(\frac{1}{2} \exp(\dfrac{t}{\sqrt{n}}) + \dfrac{1}{2} \exp(-\frac{t}{\sqrt{n}})\right) $
在哪裡 $ X_{j} $ 是正常的，均值為 0，變異數為 1。
我假設作者正在使用標準化正態隨機變數的矩生成函式的表達式。我的困惑是正常的mgf與平均值 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma^2 $ 是 $ \exp{(\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t)} $ . 感謝幫助。
你確定那個公式嗎？p上的表達是什麼？90在什里夫意味著什麼？
什麼時候 $ X_j\sim N(0,1) $ 然後 $ \frac{t}{\sqrt{n}}X_j $ 均值為零和變異數 $ \frac{t^2}{n},. $ 然後 $$ \textstyle\mathbb E\Big[\exp\Big(\frac{t}{\sqrt{n}}X_j-\frac{t^2}{2n}\Big)\Big]=1. $$ 所以 $$ \textstyle\mathbb E\Big[\exp\Big(\frac{t}{\sqrt{n}}X_j\Big)\Big]=\exp\Big(\frac{t^2}{2n}\Big),. $$
編輯
據我簡要地看一下 Shreve 的書 p.90 可以看出，他認為 $ X_j $ 是一個二項式，取值 $ \pm 1 $ 以相等的機率。這意味著您所暗示的公式是微不足道的。