布魯克納的基本城市模型，比較靜力學
我正在閱讀 Jan Brueckner 的“城市經濟學講座”（2011 年），這是對城市經濟學各種主題的“嚴謹但非技術性”的解釋。這應該是輕鬆的假期閱讀，但我愚蠢的存在想知道如何為特定部分進行數學計算。第 2 章開頭的消費者模型基於他在《區域和城市經濟學手冊》特定章節中的工作。您可以在此處找到更詳細的文章，但此處的非付費版本可能更有用。我將區分引用我連結到的更簡單的“講座”和“Muth-Mills 文章”。
非常簡單的城市模式讓每個人都通勤到城市中心的一個點，每個人都有相同的偏好。通勤是有成本的，有兩種商品要買，一種是出租的住宅面積，另一種是包羅萬象的消費品。
從數學上講，問題是：
$$ \max_{{c, q }} \quad v(c, q) $$ $$ \text{s.t.} \quad c + pq = y - tx $$
$ c $ 是消費（一種計價商品）， $ p $ 是每平方英尺的租金， $ q $ 是居住空間的平方英尺， $ y $ 是每個人從工作中獲得的相同收入， $ t $ 是每英里行駛的恆定價格，並且 $ x $ 是以英里為單位的距離市中心的距離。而且當然 $ v $ 是效用函式。
由於該模型中的所有消費者都是相同的，因此均衡價格的特徵是無論您選擇住在哪裡，您是否獲得相同的效用。如果你住在郊區（離市中心較遠），你會選擇居住空間大但消費少，而且你的通勤時間更長。如果你住在離城市更近的地方，你會選擇更小的居住空間和更多的消費，以及更短的通勤時間。
他在講座中繪製的無差異曲線暗示了凸偏好，因此我們將記住這一點來表徵 $ v $ . 他在講座中的主要結論是 $ p $ 落為 $ x $ 增加，並且 $ q $ 上升和 $ x $ 上升。
直覺上，這一切對我來說都很有意義，但儘管我能找到 $ \frac{\partial p}{\partial x} $ ， 我找不到 $ \frac{\partial q}{\partial x} $ ，即使跟隨 Muth-Mills 的文章，也有一個總導數給我帶來了麻煩。
我發現 $ \frac{\partial p}{\partial x} $ 通過簡單地重新安排預算約束，使其變為
$$ p = \frac{y - tx - c}{q} $$
導數是：
$$ \frac{\partial p}{\partial x} = - \frac{t}{q} $$
同樣不能為 $ \frac{\partial q}{\partial x} $ ，因為符號不正確，我想了想為什麼並認為這可能與以下事實有關 $ q $ 有條件地選擇 $ p $ . 正是在這裡，我轉向了 Muth-Mills 的文章。
其中，最大化代替 $ c $ 通過納入預算約束。
$$ \max_q \quad v(y - tx - pq, q)\tag{1} $$
一階條件設定邊際替代率等於價格比：
$$ \frac{v_2(y - tx - pq, q)}{v_1(y - tx - pq, q)} = p \tag{2} $$
在平衡狀態下，無論您選擇住在城市的哪個地方，您都必須達到相同的效用。（所以我們不是固定價格，而是在這個模型中固定效用。）
$$ v(y - tx - pq, q) = u \tag{3} $$
然後文章要求我們取 $ (3) $ 關於 $ x $ 並到達：
$$ -v_1 \left( t + \frac{\partial p}{\partial x} q + p \frac{\partial q}{\partial x}\right) + v_2 \frac{\partial q}{\partial x} = 0 \tag{4} $$
而且因為 $ (2) $ 暗示 $ v_2 = pv_1 $ ，然後文章將其插入 $ (4) $ 找到比較靜態 $ p $ 給定一個變化 $ x $ :
$$ \frac{\partial p}{\partial x} = - \frac{t}{q}\tag{5} $$
最後，文章達到了我感興趣的比較靜態的某種形式：
“請注意，由於效用是恆定的，因此 $ q $ 正好對應房價下跌的替代效應。形式上，它遵循
$$ \frac{\partial q}{\partial x} = \eta\frac{\partial p}{\partial x} \tag{6} $$
在哪裡 $ \eta < 0 $ 是適當的收入補償（不變效用）需求曲線的斜率。”
所以我的主要問題真的是你如何填寫計算總導數的步驟 $ (3) $ ? 我想當我看到答案時我會感到非常愚蠢，但我似乎無法弄清楚在嘗試在這裡設置鍊式規則時依賴關係在哪裡。
我最接近連貫嘗試的事情是將總導數表示為：
$$ \frac{\partial v(y - tx - pq, q)}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial (y - tx - pq)} \cdot \frac{\partial (y - tx - pq)}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial q} \cdot \frac{\partial q}{\partial x} $$
但我不確定這是否正確或如何進行（如何進一步將第一組部分分解為鍊式規則的適當部分）。
另外，我想知道如何到達 $ (6) $ ，我認為這是某種斯盧茨基的分解，但我還沒有觸及模型的這一部分。對於這個較難的部分，我會給予獎勵，因為輸入一堆矩陣似乎並不好玩。希望假期裡有人能幫忙，提前謝謝。
參考：
Brueckner, Jan K. “城市均衡結構：muth-mills 模型的統一處理。” 在區域和城市經濟學手冊，卷。2，第 821-845 頁。愛思唯爾，1987。
$ \require{cancel} $ 從以下事實開始 $ v = v(c, q) $ 並使用三重乘積規則
$$ \left(\frac{\partial v}{\partial c}\right)\left(\frac{\partial c}{\partial q}\right)\left(\frac{\partial q}{\partial v}\right) = -1\tag{1} $$
現在使用
$$ \color{orange}{c = y - tx - pq}
\Rightarrow~ \frac{\partial c}{\partial q} = -p \tag{2} $$總結
$$ \frac{\displaystyle{\frac{\partial v}{\partial q}}}{\displaystyle{\frac{\partial v}{\partial c}}} = -\frac{\partial c}{\partial p} = +p \tag{3} $$
現在打電話
$$ \begin{eqnarray} \color{blue}{v_1} &=& \color{blue}{\frac{\partial v}{\partial c}} \ \color{red}{v_2} &=& \color{red}{\frac{\partial v}{\partial q}} \tag{4} \end{eqnarray} $$
你得出結論
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue] { \frac{v_2(c, q)}{v_1(c, q)} = p } \tag{5} $$
現在完成了，我們只需要使用鍊式法則
$$ \begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial x} &=& \color{blue}{\frac{\partial v}{\partial c}} \frac{\partial c}{\partial x} + \color{red}{\frac{\partial v}{\partial q}} \frac{\partial q}{\partial x} \&=& \color{blue}{v_1}\frac{\partial}{\partial x}\left(\color{orange}{y - tx - pq} \right) + \color{red}{v_2} \frac{\partial q}{\partial x} \ &=& v_1\left(\cancelto{0}{\frac{\partial y}{\partial x}} - t\cancelto{1}{\frac{\partial x}{\partial x}} - p\frac{\partial q}{\partial x} - q \frac{\partial p}{\partial x}\right) + v_2 \frac{\partial q}{\partial x} \ &=& -v_1 \left(t + p \frac{\partial q}{\partial x} + q \frac{\partial p}{\partial x}\right) + v_2 \frac{\partial q}{\partial x} \end{eqnarray} $$
既然你修 $ u $ 然後 $ v = u = {\rm const} $ , 所以最後一個表達式的 lhs 是 0 並且
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue] { -v_1 \left(t + p \frac{\partial q}{\partial x} + q \frac{\partial p}{\partial x}\right) + v_2 \frac{\partial q}{\partial x} = 0 } \tag{6} $$