帶應用程序的比較靜力學問題
在梅克薩斯州，兩位政客（BO 先生或“政客 1”和 TC 先生或“政客 2”）正在激烈競爭參議院席位。這兩位政客在廣告上花錢以增加支持者的數量。一位政治顧問發現 BO 先生的最優廣告支出， $ S_{1} $ , 取決於支出 $ S_{2} $ 由 TC 先生和一個“可愛度”參數 $ \alpha $ 這影響了 BO 先生在 Mexas 的受歡迎程度：$$ \text{Equation 1: }S_{1} = f\left ( S_{2}, \alpha \right ), $$ 在哪裡 $ f:\mathbb{R}{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} $ 是兩次連續可微的， $ 0<\frac{\partial f\left ( S{2}, \alpha \right )}{\partial S}<1 $ 和 $ 0<\frac{\partial f\left ( S_{2}, \alpha \right )}{\partial \alpha}<1 $ 對全部 $ S_{2} \geq 0 $ 和所有 $ \alpha \geq 0 $ .
政治家 2 的最優支出取決於支出 $ S_{1} $ 政治家 1 和“紅度”參數 $ \beta $ ，這會影響有多少人會堅持 TC 先生：$$ \text{Equation 2: }S_{2} = g\left ( S_{1}, \beta \right ), $$ 在哪裡 $ g:\mathbb{R}{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} $ 是兩次連續可微的， $ 0<\frac{\partial g\left ( S{1}, \alpha \right )}{\partial S}<1 $ 和 $ 0<\frac{\partial g\left ( S_{1}, \alpha \right )}{\partial \alpha}<1 $ 對全部 $ S_{1} \geq 0 $ 和所有 $ \beta \geq 0 $ .
的均衡值 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $ 由聯立方程 (1) 和 (2) 的解給出。假設存在唯一解 $ S_{1}^{}>0 $ 和 $ S_{2}^{}>0 $ .
是否增加 $ \alpha $ （保持 $ \beta $ 常數）必然增加或必然減少 $ S_{1}^{*} $ ? 解釋。
**我的嘗試：**在這裡我使用隱函式定理來回答這個問題，因為我們本質上是在尋找比較靜態的 $ \frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha } $ .
由於從等式2， $ S_{2}^{} = g\left ( S_{1}^{}, \beta \right ) $ , 我替換了 $ S_{2}^{} $ 在等式中獲得$$ S_{1}^{} = f\left ( g\left ( S^{}{1}, \beta \right ), \alpha \right ). $$那麼自從$$ S{1}^{} - f\left ( g\left ( S^{}{1}, \beta \right ), \alpha \right ) = 0 \equiv F, $$ 我可以應用隱函式定理 (IFT) 來推導 $ \frac{\mathrm{d} S{1}^{} }{\mathrm{d} \alpha } $ .
所以$$ \frac{\mathrm{d} S_{1}^{} }{\mathrm{d} \alpha } = - \frac{\frac{\partial F}{\partial \alpha}}{\frac{\partial F}{\partial S_{1}}} = - \frac{\frac{\partial f\left ( \right )}{\partial \alpha}}{1 - \frac{\partial f \left ( \right )}{\partial g} \frac{\partial g \left ( \right )}{\partial S_{1}^{}}} \frac{>}{<} 0. $$
因為我們不知道導數的符號 $ \frac{\partial f \left ( \right )}{\partial g} $ ， 的效果 $ \alpha $ 在 $ S^{*}_{1} $ 是模棱兩可的。
我的回答有意義嗎？
你可以得到一個明確的答案$$ \text{sign}\left{\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }\right} $$給定假設。
從
$$ S_{1}^{} - f\left ( g\left ( S^{}_{1}, \beta \right ), \alpha \right ) = 0 \equiv F $$
和隱函式定理
$$ \frac{\mathrm{d} S_{1}^{} }{\mathrm{d} \alpha } = - \frac{\partial F/\partial \alpha}{\partial F/\partial S^_{1}} $$
我們有
$$ \frac{\partial F}{\partial \alpha} = -\frac{\partial f}{\partial \alpha} $$
和
$$ \frac{\partial F}{\partial S^_{1}} = 1-\frac{\partial f}{\partial S_2}\cdot \frac{\partial g}{\partial S^_{1}} $$
對於這些表達式，我們不僅知道符號，還知道大小。結果如下。