使用微積分的多個方程的比較靜力學
我目前正在學習經濟的三市場模型，商品市場、貨幣市場和要素市場分別處於平衡狀態，當-
$$ Y=C(Y-tY)+ I(r) + (\bar G) + \bar{NX} $$
$$ \frac{\bar M}{P} = M^d(r, Y) $$
$$ P=P^e f(\frac{Y}{\bar L}, \bar \mu, \bar z) $$
這裡所有帶有條形的變數都是外生的，其餘的都是內生的。我被教導通過使用圖表來跟踪參數變化的影響。第一個方程和第二個方程分別給出了 IS 和 LM 曲線 $ (Y, r) $ 空間，它們共同產生了向下傾斜的 AD 曲線 $ (Y, P) $ 空間。第三個等式在同一空間中生成向上傾斜的 AS 曲線。
例如，增加 G 會使 IS 曲線向右移動，因為給定利率，Y 會上升。這反過來又提高了 r 和 Y。在任何給定的價格水平上增加的 Y 使 AD 曲線向右移動。這再次提高了 P 和 Y。原始 LM 曲線略微向左移動，但並未完全抵消 Y 的原始增加，因為 AD-AS 圖確保 Y 實際上增加。
我經常將圖表描述轉換為微積分，對於每個特定市場，假設所有其他市場不受影響，這似乎相當容易。
但是當我試圖解釋導數以同時滿足所有三個方程時，我完全迷失了，也就是說，將圖解邏輯轉換為微積分。
我應該怎麼做？另外，我在哪裡可以學習任何任意方程組的技術，而不僅僅是這個特定的模型，以便將來能夠在其他模型中使用它？
由於這看起來像一個家庭作業並且沒有嘗試過，為了避免給出完整的解決方案，我將使用等式 1 和 2 給你概念性的解釋（你可以稍後使用下面的步驟添加等式 3）。
解決這個問題的標準方法是採用全導數並求解系統 $ dY $ . 全導數類似於正常導數，但您將對系統中的每個變數進行計算。在這裡，您將有一組方程：
$$ dY = C_Y’dY + C_t’dY + I_r’dr + dG + dNX \ \frac{PdM-MdP}{P^2}= M^{d’}_Y dY + M^{d’}_r dr $$
同樣的邏輯也可以應用於我故意省略的等式 3。
現在您可以使用任何方法來求解您想要的多個方程組。求解方程組最常用的方法有代換法、線性組合法（即把多個方程相加的方法）、各種矩陣法，如克萊默法則。但是，無論您使用哪種方法，它們都會起作用，但是您擁有的方程式越多，難度就會越來越大。這裡真的沒有什麼好的捷徑。即使是當你有多個方程時工作得相當好的矩陣方法也會隨著方程數量的增加而迅速變得笨拙。在實踐中，您不會手動解決困難的系統，而只是在 pyhton 或 matlab 中設置系統並讓它為您解決（但是，在課堂設置中，您不太可能遇到具有超過 4 個方程的系統）。
在這種情況下，替換是最快的方法，所以我將使用那個方法。我們可以解方程 2 $ dr $ :
$$ dr = \frac{PdM-MdP}{P^2M^{d’}_r} - \frac{M^{d’}_Y}{M^{d’}_r} dY $$
現在將這個方程代入第一個方程得到：
$$ dY = C_Y’dY + C_t’dY + I_r’ \left( \frac{PdM-MdP}{P^2M^{d’}_r} - \frac{M^{d’}_Y}{M^{d’}_r} dY \right) + dG + dNX $$
解決 $ dY $ :
$$ dY = \frac{1}{\left(1 - C_Y’ - C_t’ - I_r’ \frac{M^{d’}_Y}{M^{d’}_r} \right)} \left( I_r’ \frac{PdM-MdP}{P^2M^{d’}_r} + dG + dNX\right) $$
這個表達式在你的宏 101 類中應該已經很熟悉了——第一個分數是乘數，第二個括號是外生的支出來源。
現在，如果您想檢查當假設政府支出增加其他條件不變時會發生什麼，您只需設置所有其他 $ dX=0 $ 節省 $ dY $ 和 $ dG $ （因為其他事情不會改變）在這種情況下給你：
$$ dY = \frac{1}{\left(1 - C_Y’ - C_t’ - I_r’ \frac{M^{d’}_Y}{M^{d’}_r} \right)} dG $$
然後我們可以找到的偏導數 $ \frac{\partial Y}{\partial G} $ 就像：
$$ \frac{\partial Y}{\partial G} = \frac{1}{\left(1 - C_Y’ - C_t’ - I_r’ \frac{M^{d’}_Y}{M^{d’}_r} \right)} $$.
你完成了這個表達式告訴你多少 $ Y $ 改變時 $ G $ 變化。您可以對您想要的任何其他變數重做上述操作，並且您也可以輕鬆添加第三個等式（只需取其總導數並進行 1 次所需的額外替換）。上述方法適用於任意系統。有時使用不同的方法來求解方程組更容易，但這是非常具體的，我沒有比練習各種求解系統的方法更好的建議，最後你會發展出“訣竅”來了解哪個方法在特定情況下是最快的（儘管它們都會起作用，只是有些有時更快/更容易應用）。