決策理論問題：p的確定性等價物的存在性和唯一性
讓 $ X = (x_,x^) $ 是實線中的一個區間，並表示為 $ \Delta(X) $ 上的一組簡單機率分佈 $ X $ . 考慮偏好關係 $ \succcurlyeq $ 在 $ \Delta(X) $ 滿足預期效用理論的公理。如果 $ \succcurlyeq $ 對於一階隨機優勢和風險厭惡表現出單調性 $ p \in \Delta(X) $ 確定性等價於 $ p $ 存在並且是獨一無二的。
證明草圖：
1）我們定義彩票的確定性等價物 $ p $ : $ CE_p \sim \int_{X}u(x)p(x)dx $
- 我們知道如果 $ p $ FOSD $ q $ 然後 $ p\succcurlyeq q $
3）由於風險厭惡： $ \int_{X}u(x)p(x)dx \leq u(\int_{X}xp(x)dx) =u(p) $
4）我們想證明 $ \exists $ 彩票，叫它 $ s $ 這樣 $ CE_p \sim s $ ; 在這方面（從上面的 3 點）我們知道 $ p \succcurlyeq s $ ; 然後我們選擇一個特定的彩票 $ q $ 這樣 $ p \succcurlyeq q $
- 因為假設 $ \succcurlyeq $ 在 $ \Delta(X) $ 滿足期望效用定理的公理（特別是連續性）存在唯一的 $ \alpha $ 這樣 $ \alpha p + (1-\alpha) q \sim s $ （見 MWG 第 177 頁）。因此我們證明了 $ \exists $ 複合彩票 $ s $ 那是彩票的確定性等價物 $ p $ .
問題：我是否遺漏了證明中的任何細節？
你的符號有點誤導：最好寫 $ \mathbb{E}u(p) $ 或者 $ U(p) $ 對於與相關的預期效用 $ p $ 代替 $ u(p) $ ， 和 $ u(\mathbb{E}p) $ 對於期望值的效用 $ p $ . 正式地 $ u $ 定義在 $ X $ 而不是 $ \Delta(X) $ .
關於你的證明，在我看來： $ (i) $ 你不解釋如何找到 $ s $ ; $ (ii) $ 你找不到確定性等價物，因為 $ s $ 是彩票。你要找到的是一個確定的金錢獎勵，即一個退化的彩票，決策者和彩票一樣重視 $ p $ .
例如，您可以注意到，通過 $ u $ ,
$$ \begin{equation} u(x_{})\leq \int_{X}{u(x)p(x)dx} \leq u(x^{}) \end{equation} $$ 此外，功能 $ u:x \rightarrow u(x) $ 是連續的。因此，由中間值定理，存在 $ CE_p \in [x_{},x^{}] $ 這樣 $ u(CE_p) = \int_{X}{u(x)p(x)dx} $ .
為了唯一性，想像一下 $ CE’_p $ 是另一個確定性等價於 $ p $ , 即 $ u(CE’_p)=u(CE_p) $ . 自從 $ u $ 是嚴格遞增的（這可以看作是關於一階隨機優勢的單調性的結果），我們得到 $ CE’_p=CE_p $ .
請注意，您不需要風險厭惡來證明結果，但進一步暗示 $ CE_p \leq \mathbb{E}p $ .