絕對風險厭惡的定義
在其維基百科文章中，絕對風險規避被定義為 $ ARA = -\frac{u’’(c)}{u’(c)} $ . 然而，我也曾看到絕對風險厭惡被定義為投資者為避免賭博而願意接受的消費減少的一半 $ \varepsilon $ ， 在哪裡 $ E[\varepsilon] = 0 $ , $ E[\varepsilon^2] = 1 $ ， 和 $ \varepsilon $ 與消耗無關：
$$ U(C - ARA/2) \equiv E[U(C + \varepsilon) \mid C]. $$ 使用後一個定義，我如何證明 $ ARA = -U’’(C) / U’(C) $ ?
@Alecos 的回答很棒。出於教學目的，我將重新表述一些步驟。
我們想證明 $ ARA = -u’’(c)/u’(c) $ 鑑於 ARA 被定義為 $ u(c - ARA/2) = E[u(c + \varepsilon) \mid c] $ . 因此，按照 Alecos 的回答，採用二階泰勒展開式得到
$$ \begin{equation} E[u(c + \varepsilon)\mid c] \approx u(c) + \frac 12 u’’(c). \end{equation} $$ 那麼根據定義， $ u(c - ARA/2) \approx u(c) + \frac 12 u’’(c) $ . 現在，對該表達式左側的一階泰勒級數展開，我們看到 $$ \begin{equation} u(c - ARA/2) \approx u(c) - u’(c) \cdot \frac{ARA}{2}, \end{equation} $$ 這意味著 $$ \begin{align} u(c) - u’(c) \cdot \frac{ARA}{2} &\approx u(c) + \frac 12 u’’(c) \ ARA &\approx -\frac{u’’(c)}{u’(c)}. \end{align} $$
放 $ y \equiv c+\varepsilon $ . 所以 $ y $ 代表消費的變化並“接近”給定水平 $ c $ . 對函式進行二階泰勒展開 $ E[u(y)\mid c] $ 大約 $ c $ ，它被視為固定的，因為我們以它為條件：
$$ E[u(y)\mid c] \approx E[u(c)\mid c] + E[u’(c)(y-c)\mid c] + E[\frac12u’’(c)(y-c)^2\mid c] $$ 但 $ y-c = \varepsilon $
所以
$$ E[u(y)\mid c] \approx E[u(c)\mid c] + E[u’(c)\varepsilon\mid c] + E[\frac12u’’(c)\varepsilon^2\mid c] $$ 由於條件反射和獨立性 $ \varepsilon $ 從 $ c $ 期望值分佈並僅適用於 $ \varepsilon $ :
$$ E[u(y)] \approx u(c) + u’(c)E[\varepsilon] + \frac12u’’(c)E[\varepsilon^2] $$ 既然我們假設
$$ E[\varepsilon] = 0 \Rightarrow {\rm Var}(\varepsilon)=E[\varepsilon^2] =1 $$ 我們獲得 $$ E[u(c+\varepsilon)] \approx u(c) + \frac12u’’(c) \tag{1} $$ 現在考慮 $ u(c-\frac 12 ARA) $ ， 和 $ ARA \equiv -\frac{u’’(c)}{u’(c)} $ ，並在這種情況下採用一階泰勒展開式，再次圍繞 $ c $ :
$$ u\left(c-\frac 12 ARA\right) = u(c) + u’(c)\cdot (c- \frac 12 ARA - c) = u(c) - \frac 12 u’(c)\cdot ARA $$ 使用定義 $ ARA $ 替換它，我們得到
$$ u\left(c-\frac 12 ARA\right) \approx u(c) - \frac 12 u’(c)\cdot\left (-\frac{u’’(c)}{u’(c)}\right) $$ $$ \Rightarrow u\left(c-\frac 12 ARA\right) \approx u(c) + \frac 12 \cdot u’’(c) \tag{2} $$ 等式的右邊 $ (1) $ 和 $ (2) $ 因此，它們的左側大致相等，或者，
$$ E[u(c+\varepsilon) \mid c] \approx u\left(c-\frac 12 ARA\right) $$ 只要有效 $ ARA $ 是這樣定義的。QED。
如果賭博的變異數不是統一的，而是 $ \sigma^2 \neq 1 $ , 那麼更一般的方程是
$$ E[u(c+\varepsilon) \mid c] \approx u\left(c-\frac {\sigma^2}2 ARA\right) $$