解釋貝氏決策問題中兩個變異數的比率
給定一個具有均值的正常先驗 $ \mu_0 $ 和變異數 $ \sigma_0^2 $ ，以及具有已知變異數的正態概似 $ \sigma^2 $ ，貝氏後驗，觀察後 $ n $ 獨立同分佈信號 $ x_1,\dots,x_n $ , 也是具有均值的正態分佈
$$ \left(\frac{\mu_0}{\sigma_0^2}+\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{\sigma^2}\right) \left(\frac{1}{\sigma_0^2}+\frac{n}{\sigma^2}\right)^{-1} $$ 和變異數 $$ \left(\frac{1}{\sigma_0^2}+\frac{n}{\sigma^2}\right)^{-1}. $$ 請參閱https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior#Continuous_distributions。 Pratt、Raiffa 和 Schlaifer (2008)建議我們可以定義
$$ n’=\frac{\sigma^2}{\sigma_0^2} $$ 因此後驗均值和變異數可以寫為 $$ \frac{n’\mu_0+\sum_{i=1}^nx_i}{n’+n}\quad\text{and}\quad\frac{\sigma^2}{n’+n}. $$ 他們說
參數 $ n’ $ 因此可以解釋為“虛構樣本量”或樣本觀察的等效數量，它描述了先驗分佈中隱含的資訊量。
我很難理解的解釋 $ n’ $ ，尤其是“或”之後的部分。誰能幫助我理解它，也許以不同的方式表達，或者稍微詳細說明一下？
原諒文字遊戲，但解釋 $ n’ $ 是一個……後面的。意思是，重要的不是如何 $ n’ $ 已定義（變異數比，儘管這將證明與解釋一致），但它如何在後驗均值和變異數中起作用。
它有什麼作用？對於後驗變異數，它是最簡單的：首先，它表現為對錶達式分母的附加*，與實際樣本量相當*。這使作者可以談論“等效數量的樣本觀察”。其次，它的作用是降低變異數，變異數是離散度的度量，也是不確定性的度量。這種效應現在允許作者談論“先驗分佈中隱含的資訊量”：先驗中的更多資訊 - 先驗中較低的不確定性 - 後驗中較低的不確定性 - 事實上， $ \sigma^2_0 \downarrow \implies n’ \uparrow \implies \text{Posterior Variance} \downarrow $ .
對於我們的後驗均值（設置 $ N \equiv n’ + n $ )
$$ \text {Posterior Mean} = \frac{n’\mu_0 +\sum_{i=1}^nx_i}{n’+n} = \frac{n’}{N}\mu_0 + \frac{n}{N}\bar x $$ 即先驗均值和样本均值的凸組合 - 所以幅度 $ n’ $ 將先驗資訊與樣本資訊進行權衡，就好像您有兩個來自相同大小群體的獨立樣本 $ n’ $ 和 $ n $ ，並考慮了他們的匯總平均值。同樣，這可以解釋為“以虛擬/虛構樣本大小表示的先驗分佈中隱含的資訊”。