具有風險中性代理的道德風險
我們有一個具有隱藏行為的委託代理模型，其中委託人是風險厭惡的，代理人是風險中性的；假設也有兩個級別的輸出， $ x $ 和 $ x’ $ （和 $ x’>x $ ) 和兩個動作 $ a,a’ $ . 定義 $ p(a),p(a’) $ 的機率 $ x’ $ 在行動中 $ a,a’ $ 分別。此外，代理對行動的不利影響 $ a’ $ 是 $ -1 $ . 相關的工資 $ x,x’ $ 是 $ w,w’ $ 分別。
我的問題是我不確定如何證明最優契約需要 $ x’-w’ =x-w $ ，即代理人，風險中立，承擔與項目相關的所有可變性。
我將問題形式化（假設校長想要誘導 $ a’ $ ，否則我的問題是微不足道的）
$ \max\limits_{{w,w’}} u(x’-w’)p(a’) + u(x-w)(1-p(a’)) $
英石
$ w’p(a’) + w(1-p(a’)) - 1 \geq 0 $
$ w’p(a’) + w(1-p(a’)) - 1 \geq w’p(a) + w(1-p(a)) $
特別是，當我試圖通過最大化本金預期收益來解決問題時，受“標準”個人理性（與 $ \lambda $ 乘數）和激勵兼容性（與 $ \mu $ 乘數）約束（我假設委託人對成本更高的行動感興趣 $ a’ $ ) 我最終得到兩個與上述結果不一致的方程。尤其：
$ u’(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a’))}] $
$ u’(x’-w’) = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a’)}] $
很明顯， $ x-w = x’-w’ $ 當且僅當 $ p(a) =p(a’) $ 在這個問題中情況並非如此（這裡我們有 $ p(a’) >p(a) $ ）。另一種可能性是假設激勵兼容性約束是鬆弛的（因此 $ \mu = 0 $ ); 但是，當委託人想要採取最昂貴的行動時，我無法理解為什麼會這樣 $ a’ $ （在這裡幫助）
我在網上讀到，另一種方法是假設委託人將項目“出售”給代理人，代理人在選擇了最大程度的預期效用後，向委託人支付固定金額（稱之為 $ \beta_{a}, \beta_{a’} $ )
所以我們會有類似的東西：
$ w’p(a’) + w(1-p(a’)) - 1 -\beta_{a’} \geq 0 $ 如果代理人選擇付出高昂的努力並且 $ w’p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0 $ 除此以外。
但那如何從那裡去呢？如何確保代理將選擇動作 $ a’ $ ? 固定金額如何確定？為什麼它們是最優的？
這個答案顯示了三件事：
- 我們不需要拉格朗日方法來解決您的最大化問題。
- 我們不需要假設 $ x’-x=\frac{1}{p(a’)-p(a)} $ 任何一個。
- 條件 $ x’-w’=x-w $ 不一定滿足最優契約。
確實修復付款 $ w $ . 問題可以寫
$$ \begin{equation*} \max_{w’}{u(x’-w’)p(a’)} \end{equation*} $$ 給定約束 $$ \begin{align*} & w’p(a’) \geq 1 - w[1-p(a’)] \ & w’[p(a’)-p(a)] \geq 1+w[p(a’)-p(a)] \end{align*} $$ 很明顯，委託人有興趣為 $ w’ $ 給定這組約束，因為目標函式在 $ w’ $ . 因此他將設置 $$ \begin{equation} w’ = \max{\frac{1-w[1-p(a’)]}{p(a’)},\frac{1+w[p(a’)-p(a)]}{p(a’)-p(a)}} \end{equation} $$ 正如@Alecos_Papadopoulos 所做的那樣，假設代理人受有限責任保護是有道理的，即他的付款是非負的。否則問題不一定有解決方案：委託人總是可以從減少中受益 $ w $ 並增加 $ w’ $ 從而滿足個體理性約束。但是契約 $ (w=-\infty,w’=+\infty) $ 顯然不是一個令人滿意的解決方案。因此，我將注意力限制在以下情況 $ w \geq 0 $ 和 $ w’ \geq 0 $ .
條件 $ w \geq 0 $ 暗示
$$ \begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a’)-p(a)]}{p(a’)-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a’)]}{p(a’)} \end{equation*} $$ 因此 $$ \begin{equation*} w’ = \dfrac{1+w[p(a’)-p(a)]}{p(a’)-p(a)} \end{equation*} $$ 把這個方程代入目標函式，校長的問題就變成了
$$ \begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x’-\frac{1}{p(a’)-p(a)}-w)p(a’)+u(x-w)(1-p(a’))} \end{equation*} $$ 這個目標函式在 $ w $ . 因此他簡單地設置 $ w=0 $ 和 $ w’=\dfrac{1}{p(a’)-p(a)} $ . 作為結論，平等 $ x’-w’=x-w $ 沒有理由滿足，除非人們假設 $ x’-x=\dfrac{1}{p(a’)-p(a)} $ , 即 $$ \begin{equation*} p(a’) x’ + (1-p(a’))x -1= p(a)x’ + (1-p(a))x \end{equation*} $$ 後一個等式意味著社會剩餘由 $ a’ $ 等於產生的盈餘 $ a $ ：這是一個非常特殊的情況，代理人的努力成本完全可以通過委託人預期產出的增加來補償。在所有其他情況下，我們有 $ x’-w’ \ne x-w $ . 我認為代理人不承擔所有風險的原因是因為他的行為不可觀察，因此不可收縮。在分配不受限制的風險分擔經濟中，這一特性是正確的。但是這裡的分配由於需要激勵代理人付出高昂的努力而被扭曲。