風險愛好者的投資組合選擇
以 MWG (p.188-189) 中提出的標準投資組合選擇問題為例，但決策者喜歡風險：
- 擁有初始財富 $ w $
- 投資金額 $ \alpha $ 在具有隨機總回報率的風險資產中 $ z $ ， 在哪裡 $ z $ 根據cdf分佈 $ F $ ， 和 $ \int zdF(z)>1 $
決策者解決以下問題
$$ \max_{\alpha\in[0,w]} \int u(w-\alpha +\alpha z) dF(z), $$ 在哪裡 $ u’>0 $ , $ u’’>0 $ . 最優解是真的嗎 $ \alpha^*=w $ ?
請注意，由於 $ u $ 是凸的，通常的一階條件對於最大值是不充分的。
直覺上答案應該是肯定的。但究竟是什麼原因呢？
因為我們懷疑是一個角落解決方案，所以最好用它的約束明確地寫出問題。更好的是，使用 Fritz John ( FJ ) 條件而不是 Karush-Kuhn-Tucker ( KKT ) 條件。我們將在進行過程中提及差異。
$$ \max_{\alpha} \int u[w+\alpha(z-1)] dF(z),;; \text{s.t.};; w-\alpha \geq 0 $$ Firtz John 公式下的拉格朗日是
$$ L_{FJ} = \lambda_0\int u[w+\alpha(z-1)] dF(z); + ; \lambda_1(w-\alpha) $$ 新元素是目標函式的乘數， $ \lambda_0 $ . 不失一般性，我們可以指定
$$ \lambda_0 \in {0,1},;; \lambda_0 + \lambda_1 \neq 0 $$ 與更廣為人知和使用的KKT條件相比，我們在這裡獲得了什麼？如果解決方案需要 $ \lambda_0 =1 $ ，我們得到滿足約束條件的KKT條件。如果解決方案需要 $ \lambda_0 =0 $ ，它反映了除其他特殊情況外，約束條件不成立的情況。
（一個標準的例子是可行集的情況 $ \alpha $ 由於施加的限制，已減少到一個點。然後我們會發現唯一的解決方案是 $ \lambda_0=0 $ ，有一個直覺的解釋：如果 $ \alpha $ 由於約束可以取一個且只有一個值，則目標函式在確定 $ \alpha $ 所以它的乘數為零）。
回到我們的問題。一階條件是
$$ \frac {\partial L_{FJ}}{\partial \alpha} = \lambda_0\int u’[w+\alpha(z-1)]\cdot (z-1) dF(z) - \lambda_1 \leq 0 $$ （注意“低於或等於零”，這是在不等式約束下優化時的情況，而不僅僅是“等於”）。
首先，我們確定 $ \alpha^* >0 $ . 由於 $ u’>0 $ 以及效用函式的（嚴格）凸性， $ u’’>0 $ ，並且假設 $ E(z) >1 $ 我們有（使用 Jensen 不等式）
$$ E[u(w+\alpha(z-1))] > u(w+\alpha(E(z)-1))] > u(w + 0\cdot(E(z)-1))=u(w) $$ 我們現在轉而研究案例。由於兩個乘數不能都為零，並且 $ \lambda_0 $ 只取兩個值，有三種可能的組合。
審查案件 $ \lambda_0 =1 $ .
然後 $ \lambda_1 $ 原則上可以為零或正。檢查的情況下 $ \lambda_1 =0 $ ，即約束不具有約束力，這意味著 $ \alpha^* < w $ . 有了這對候選乘法器， $ {\lambda_0=1,\lambda_1=0} $ ，一階條件將變為
$$ \int u’[w+\alpha(z-1)]\cdot (z-1) dF(z) \leq 0 \Rightarrow E(zu’) - E(u’) \leq 0 $$ 自從 $ u’>0 \Rightarrow E(u’) > 0 $ . 另外，由於 $ E(z)>1 $ 我們有
$$ E(u’)< E(u’)E(z) \Rightarrow E(zu’) < E(u’)E(z) \Rightarrow \text{Cov}(z, u’)<0 $$ 但這不能成立，因為，因為 $ \alpha^*>0 $ 和 $ u’’>0 $ , 我們有 $ u’ $ 將嚴格增加 $ z $ . 所以共變異數 $ z $ 和 $ u’ $ 不能為負。但是然後這對乘數值 $ {\lambda_0=1,\lambda_1=0} $ 不可能是一個解決方案，這是由於假設 $ u’’>0 $ .
我們留下了案件 $ {\lambda_0=1,\lambda_1>0} $ ， 或者 $ {\lambda_0=0,\lambda_1>0} $ . 在這兩種情況下， $ \lambda_1 >0 $ 即約束是有約束力的，即我們將有 $ \alpha^* = w $ . QED。
參考
Fritz John 條件已在“ F. JOHN. Extremum questions with inequalities as side conditions 中說明。在“Studies and Essays, Courant Anniversary Volume”（KO Friedrichs, OE Neugebauer and JJ Stoker, eds.）, pp. 187-204 . Wiley (Interscience), 紐約, 1948"
並被推廣到
" Mangasarian, OL 和 Fromovitz, S. (1967)。Fritz John 在存在等式和不等式約束的情況下必要的最優條件。數學分析與應用雜誌，17(1)，37-47。