偏好沒有獨立公理的彩票
假設一組 $ N $ 結果可以按以下順序排列： $ 1\succ 2\succsim\cdots\succsim N $ . 此外，假設決策者對彩票的偏好高於這些結果。假設對彩票的偏好是理性的、連續的，但不一定與獨立公理一致。
是否遵循在這種情況下最好的彩票是退化彩票 $ (1,0,\dots,0) $ ?
如果違反獨立公理怎麼辦？
不，不一定。如果沒有獨立公理（或其他替代它的東西），您無法僅從對結果的偏好中推斷出對（非退化）彩票的偏好。
例如，讓 $ p^L_n $ 成為結果的機率 $ n \in {1, 2, 3} $ . 然後對彩票的偏好 $ \succeq^* $ 由效用函式表示
$$ U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3], $$
是連續且有理的，但不滿足獨立公理。為了 $ \beta $ 足夠大，甚至不是這樣 $ (1,0,0) $ 是最好的彩票，雖然 $ (1,0,0) \succ^* (0,1,0) $ 和 $ (1,0,0) \succ^* (0,0,1) $ .
要了解原因，請注意
$$ U(1,0,0) = 1, $$ $$ U(0,1,0) = 0, $$ $$ U(0,0,1) = 0, $$
然而，對於 $ \beta > 4 $ ,
$$ U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 . $$
違反獨立公理可以從以下事實看出，當 $ \beta > 4 $ ,
$$ [1,0,0] \succ [0,1,0] , $$
雖然
$$ \left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right]. $$