Anscombe-Aumann 的哪一個公理暗示了 Sure-Thing 原則？
考慮一個 Anscombe-Aumann 設置，並假設偏好關係滿足所有原始 Anscombe-Aumann 公理（理性、連續性、獨立性和單調性）。
如果我們將注意力限制在純賽馬（即沒有任何客觀不確定性的行為）上，Anscombe-Aumann 模型可以歸結為主觀預期效用表示，如野蠻人。因此，在純粹的賽馬比賽中，決策者滿足 Savage 的所有公理，特別是 Sure-Thing 原則（Savage 術語中的 P2）。
我看不到 Anscombe-Aumann 的公理與萬事萬物原則之間的直接聯繫。有誰看到安斯科姆-奧曼的公理是如何暗示確定性原則的？特別是，它是僅由獨立性引起的，還是需要獨立性和單調性？
作為第一條評論：Anscombe-Aumann 公理，特別是獨立性，被定義為將狀態空間帶到線性空間的行為（通常是消費對像上的簡單彩票）。即使我們考慮將模型限制為純粹主觀不確定的行為，我們仍然需要使用完整的模型，否則我們會失去資訊。
話雖如此：讓我們讓 $ S $ 是一個有限狀態空間，並且 $ X $ 一組有限的備選方案。讓 $ \Delta(X) $ 表示所有彩票結束 $ X $ 和 $ f: S \to \Delta(X) $ 是一種行為。對於一個事件 $ E \subseteq S $ ， 讓 $ f_{-E}g $ 是由定義的行為
$$ f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases} $$ 現在，我們可以說我們的模型滿足確定性原則，如果 $ f_{-E}h \succsim g_{-E}h $ 和 $ f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h $ 然後 $ f \succsim g. $ 這個定義對所有行為都有效，不僅僅是沒有客觀風險的行為，但顯然你可以只考慮相關的預測。
假設 STP 的前件。從 $ f_{-E}h \succsim g_{-E}h $ 我們擁有獨立性
$$ \frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h. $$ 請注意，我們可以將其重寫為 $$ \frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h $$ 並且，再次應用獨立性，我們得到 $$ \begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation} $$ 以類似的方式，從 $ f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h $ 我們擁有獨立性
$$ \frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h. $$ 同樣，我們可以重寫為 $$ \frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h $$ 並且，再次應用獨立性，我們得到 $$ \begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation} $$ 通過傳遞性結合 (1) 和 (2) 產生所需的關係。回到前言，注意要應用獨立性，我們需要混合行為，訴諸客觀風險。因此，即使當 $ f $ , $ g $ ， 和 $ h $ 沒有客觀風險，我們仍然需要有風險的行為作為證明的中介。從某種意義上說，這是對整個 AA 框架的宏大洞察——利用客觀風險來繞過無限狀態空間的必要性，利用期望的線性來強制 STP。
請注意，僅使用了獨立性和傳遞性。這應該表明，即使依賴於狀態的 EU（單調性/狀態獨立性失敗）或 Bewley EU（完整性放鬆）仍將滿足 STP。
編輯以回應評論：讓我們稱上面的Sure Thing Principle STP1的概念，並說偏好滿足STP2，如果 $ f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h’ \succsim g_{-E}h’ $ 對全部 $ f,g,h,h’ $ . 那麼如果 $ \succsim $ 是一個預購，它滿足 STP1 當且僅當它滿足 STP2。
首先假設 STP2 成立並且 $ f_{-E}h \succsim g_{-E}h $ 和 $ f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h $ . 然後通過 STP2 我們有
$$ f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g. $$ 傳遞性意味著 $ f \succsim g $ ; STP1 成立。 接下來，假設 STP1 成立並且 $ f_{-E}h \succsim g_{-E}h $ . 定義 $ \hat f = f_{-E}h’ $ 和 $ \hat g $ 類似地。根據定義
$$ \hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h, $$ 所以我們的假設是相同的 $$ \begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation} $$ 更遠 $ \hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h’{-E}h $ 因此，通過偏好的反身性，我們有 $$ \begin{equation} \tag{4} \hat f{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation} $$ 現在我們可以將 STP1 應用於 (3) 和 (4) 以獲得 $ \hat f \succsim \hat g $ ，根據他們的定義，這正是我們需要展示 STP2 所持有的內容。