違反完整性公理（簡單的日常範例）
違反傳遞性的簡單日常範例並不難想出，但我很難想到一些完整性公理。
用簡單的英語表達完整性公理的一種可能形式：
給定任意兩個備選方案 A 和 B，以下恰好有一個是正確的： (1) 我嚴格偏愛 A 而不是 B；(2) 我嚴格選擇 B 而不是 A；(3) 我對 A 和 B 無動於衷。
我希望可以工作（但沒有）的一個例子來自書籍/電影Sophie’s Choice，其中讓 Sophie 在以下兩種選擇之間進行選擇：
A：把她的兒子送到毒氣室（把她的女兒送到兒童營）。
B：把她的女兒送到毒氣室（把她的兒子送到兒童營）。
她最初非常不願意表達對任何一種選擇的偏好。因此，一種可能的解釋是，她對 A 和 B 完全無動於衷。另一種可能的解釋是，她不遵守完備性公理。
然而，她隨後被進一步施壓，並被告知如果她不選擇，她將獲得備選方案 C：“將兩個孩子都送進毒氣室。”
面對這個明顯劣於備選方案 A 和 B 的備選方案 C，她確實選擇了備選方案之一（B：將她的女兒送到毒氣室），因此強烈暗示她確實遵守了完備性公理。
以上當然只是我對《蘇菲的選擇》中故事的解讀。也許有人可以給出另一種解釋，其中上述證明是違反完整性公理的一個例子。
（一種可能性可能是這樣的：Sophie 的偏好關係在 {A,B} 上是不完整的。當只面對 A 和 B 時，她不喜歡 A 而不喜歡 B，不喜歡 B 而不喜歡 A，也不是A 和 B 之間無動於衷。但是，當給定一個比 A 或 B 差很多且在沒有選擇的情況下她必須預設使用的附加選項 C 時，她現在更喜歡 B 而不是 A。）
對於那些似乎相信完備性公理是不可侵犯的人，卻不知道“在經濟理論中，對傳遞性和完備性公理的批評由來已久”（Putnam, 2002 , p. 163），請看以下三個例子批評完整性公理的經濟學家：
Von Neumann 和 Morgenstern（1953 年，博弈論和經濟行為，第 3 版，第 630 頁）：
公理(3:A)——或者更具體地說，(3:A:a)——表達了所有效用排序的完整性，即個人偏好系統的完整性。將這一假設視為有效假設的現實理想化是否適當甚至方便，這是非常值得懷疑的。
奧曼（1962，第 446 頁）：
在效用理論的所有公理中，完備性公理可能是最值得懷疑的。像其他公理一樣，它作為對現實生活的描述是不准確的；但與他們不同的是，即使從規範的角度來看，我們也很難接受。
阿南德（1987，第 190 頁）：
雖然完整性是理性選擇的任何“形式”理論中使用的第一個假設之一，但與傳遞性或獨立性相比，它作為理性公理可能更不被接受。
如何將完整性轉化為行為存在問題。讓 $ R $ 是任何二元關係，表示偏好，在集合上 $ X $ 的替代品和 $ A\subseteq X $ 是一組可用的非空選項。通常的假設是決策者選擇了一個替代方案 $ a\in A $ 最佳地根據關係 $ R $ . 這裡有三種解釋方式：
- $ a R b $ 對全部 $ b\in A $ .
- $ b R a $ 沒有 $ b\in A $ .
- $ b R a $ 暗示 $ a Rb $ 對全部 $ b\in A $ .
一種通常使用 1. 用於弱（自反）偏好關係，2. 用於嚴格（非自反）偏好關係，以及 3. 在這兩種情況下都有效。如果我們定義 $ R’ $ 經過 $ xR’y $ 當且當 $ \neg(yRx)\vee(xRy) $ ， 然後 $ R’ $ 是完整的並且滿足 1. iff $ R $ 滿足 3. 如果 $ R $ 是無腦的， $ R’ $ 滿足 1. 如果 $ R $ 滿足 2。因此，從這個角度來看，完整性本身沒有行為含義。它可以與其他屬性互動。例如，及物性和完全性比單獨的及物性更具限制性——完全性迫使及物性適用於更多的比較。
現在可以嘗試區分冷漠和不可比較。但這種區分必然使用與通常的最大化範式不同的框架。
冷漠不同於不完整。一個很好的例子是優柔寡斷。Eliaz 和 Ok進行了愉快的討論。假設您想為家人購買假期。你知道你的妻子更喜歡巴哈馬而不是佛羅里達而不是巴黎。由於您並不特別關心目的地，因此您選擇嘗試代表他們的偏好。如果有巴哈馬和佛羅里達，你會選擇巴哈馬。如果有巴哈馬和巴黎，您可以選擇兩者中的任何一個。但是，如果有巴黎和佛羅里達，您也可以選擇兩者中的任何一個（沒有任何強度的偏好）！。
請注意，您並非無動於衷，因為如果您更喜歡巴哈馬而不是佛羅里達，而不喜歡巴哈馬而不是巴黎，那麼您應該嚴格喜歡巴黎而不是佛羅里達。