每日實際波動率和真實每日波動率
如果我的想法正確，有人可以幫忙嗎？如果 $ R(t,i) $ 是第 i 個日誌返回 $ i = 1\ldots,M $ 一天 $ t $ 為了 $ t = 1\ldots,T $ .
我可以假設每日實現的波動率（表示為 $ RV(t) $ ) 是表示的真實每日波動率的一致估計量 $ QV(t) $ ] 在某種意義上說 $ RV(t)\rightarrow QV(t) $ 什麼時候 $ T\rightarrow\infty $ ?
簡而言之： 實現的變異數估計器， $ RV_t $ , 只是在沒有微觀結構雜訊的情況下的二次變分 (QV) 的一致估計量。
根據**Barndorff‐Nielsen, OE, & Shephard, N. (2002)**的論文，他們展示瞭如何實現變異數估計， $$ RV_t = \sum_{i=1}^n r_{i,t}^2, $$ **是在沒有微觀結構雜訊的情況下 QV 的一致估計量，**當日內觀察的數量達到無窮大時：
$$ RV_t = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n r_{i,t}^2 \overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow} QV_t. $$
在他們的設置中，他們按照表格上的擴散對對數價格過程進行建模：
$$ dp_t = (\mu + \beta \sigma^2_t) : dt + \sigma_t dW_t, $$
在哪裡 $ \mu $ 是漂移和 $ \beta $ 是風險溢價。根據對數價格過程的擴散設置，二次變化 $ QV_t $ 日誌返回可以描述為：
$$ QV_t = \int_{t-1}^t \sigma^2_s : ds, $$ 這相當於綜合波動率/變異數 $ IV_t = \int_{t-1}^t \sigma^2_s : ds $ （僅在擴散過程下，見論文）。
我強調了上述論文的一些主要發現：
- $ RV_t $ 也是一個無偏估計量，當 $ \mu = \beta = 0 $ .
- 在實踐中，效果 $ \mu $ 和 $ \beta $ 在實際波動率/變異數上，它非常小，在許多情況下通常可以安全地忽略（參見上述論文的第 5 節）。
- 在擴散設置下，當 $ \mu = \beta = 0 $ ，並假設沒有噪音， $ RV_t $ 是綜合變異數/波動率的一致估計量 $ IV_t $ : $$ \lim_{n \rightarrow \infty}RV_t \overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow} QV_t = \int_{t-1}^t \sigma^2_s : ds. $$
- 可以通過稀疏抽樣日內觀察來避免微觀結構。
最後一點**，Zhang, L., Mykland, PA 和 Aït-Sahalia, Y. (2005)**表明，當存在微觀結構雜訊時， $ RV_t $ 與成長 $ n $ 因此爆炸時 $ n \rightarrow \infty $ . 因此，實際波動率估計的不是真正的綜合波動率/變異數，而是雜訊污染的對應物。