正常模型中向下傾斜的微笑
我們考慮股票價格 $ S $ 遵循正常模型： $ dS_t = \sigma dW_t $
我們可以這樣寫 $ \frac{dS_t}{S_t}=\frac{\sigma}{S_t}dW_t $
因此我們可以看到 $ S $ 遵循具有局部波動函式的“對數正態”擴散 $ c(S)=\frac{\sigma}{S} $ 這是向下傾斜的。
我的問題是：我們可以推斷出這個模型所暗示的對數正常微笑也會向下傾斜嗎？也就是說，如果我們有一個局部波動函式，它隨著 $ S $ ，對數正態隱含波動率會隨著罷工而減少嗎？
謝謝 ！
自從 $ S_T = S_0 + \sigma W_T $ ,
$$ \begin{align*} C &:= E\left((S_T-K)^+ \right)\ &= E\left((S_0+\sigma W_T-K)^+ \right)\ &=\int_{\frac{K-S_0}{\sigma \sqrt{T}}}^{\infty}(S_0+\sigma\sqrt{T} x-K) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\ &=(S_0-K)\Phi\left(\frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}\right)+\frac{\sigma\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(S_0-K)^2}{2\sigma^2 T}}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Phi $ 是標準正態隨機變數的累積分佈函式。然後， $$ \begin{align*} \frac{dC}{d K} &= -\Phi\left(\frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}\right) <0. \end{align*} $$ 另一方面，讓 $ \sigma_I(K) $ 是對數正態隱含波動率，即 $$ \begin{align*} C = C(K, \sigma_I(K)). \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} \frac{dC}{d K} &=\frac{\partial C}{\partial K} + \frac{\partial C}{\partial \sigma_I}\frac{\partial \sigma_I}{\partial K}. \end{align*} $$ 這裡， $$ \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial K} = - \Phi(d_2), \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} d_2 = \frac{\ln\frac{S_0}{K} - \frac{1}{2}\sigma_I^2 T}{\sigma_I \sqrt{T}}. \end{align*} $$ 自從 $$ \begin{align*} \lim_{K\rightarrow \infty}\frac{S_0-K}{\ln \frac{S_0}{K}} = \infty, \end{align*} $$ 我們可以期待，因為 $ K $ 足夠大， $$ \begin{align*} d_2 > \frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial \sigma_I}\frac{\partial \sigma_I}{\partial K} &= \Phi(d_2) - \Phi\left(\frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}\right) > 0. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} \frac{\partial \sigma_I}{\partial K} > 0, \end{align*} $$ 隱含波動率是此類行使價的遞增函式。總之，隱含波動率不一定是罷工的遞減函式。