在 Dupire 的論文中，為什麼是(小號噸,t)(St,t)(S_t, t)在裡面(ķ,T)(K,T)(K, T)空間？
我是本地波動率模型的新手。
從 Dupire 的論文和大部分教科書中，他們得出了局部波動率 $ \sigma(K, T) $ 在裡面 $ (K, T) $ （即行使價和到期日）空間，來自看漲價格或隱含波動率表面。
然而，根據定義，局部波動率是一個函式 $ (S_t, t) $ ，即瞬時標的價格和時間。
如何將這兩者聯繫起來？
這只是一個符號問題，你應該簡單地閱讀
$$ \sigma(K,T) = \sigma(S_t=K, t=T) $$ 對於易於遵循的推導，請參閱Fabrice Rouah 的這篇出色的筆記
發展背後的一些直覺：
- 歐式期權的價格，例如看漲期權，可以寫成整數形式： $$ C(t, S_t, K, T) = e^{-r(T-t)} \int_0^\infty (S_T-K)^+ \phi(S_T,T; S_t, t) dS_T \tag{1} $$ 在哪裡 $ \phi(S_T=S,T;S_t,t) := f(S,T) $ 數字從已知目前狀態移動的pdf $ (S_t,t) $ 到某個未來的狀態 $ (S_T=S,T) $ . 這是一個無模型的結果。
- 現在，考慮局部波動動態
$$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu(S_t,t) dt + \sigma(S_t,t) dW_t $$眾所周知，條件pdf $ \phi(S_T=S,T;S_t,t) = f(S,T) $ 在這種情況下，求解以下方程（Kolmogorov 正向或 Fokker-Planck 方程）： $$ \frac{\partial}{\partial T}f(S,T) = -\frac{\partial}{\partial S} \left[ \mu(S,T) f(S,T) \right] + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial S^2} \left[ \sigma^2(S,T) f(T,S) \right] \tag{2} $$ 有初始條件$$ f(S,t) = \phi(S_T=S,T=t; S_t, t) = \delta(S-S_t) $$我們使用符號的地方 $$ \sigma^2(S,T) = \sigma^2(S_t=S,t=T) $$
- 寫出時間導數 $ (1) $ 關於 $ T $ , 可以使 $ \frac{\partial}{\partial T}f(S,T) $ 出現。這很有用，因為我們現在可以替換它的表達式 $ (2) $ ，這意味著我們將呼叫價格的一些（時間）導數與我們的局部波動率函式相關聯 $ \sigma(.,.) $
- 我們得到的表達式可以通過辨識由下式給出的看漲價格的空間導數來進一步簡化 $ (1) $ . 這涉及計算空間積分，其中局部波動函式最終被評估為 $ S=K $ ，最後產生著名的 Dupire 剝離公式
$$ \sigma^2(K,T) = … $$
局部波動只是 $ \mathbb{R}+\times[0,T]\mapsto \mathbb{R}+ $ 函式在哪裡 $ T $ 是一些時間範圍。它是一個簡單方程的解，所以它的表達式寫成 $ \sigma(K,t) $ 但在這兒 $ K $ 本質上是一個表示罷工值的符號，因為 Dupire 方程與函式有關 $ \sigma $ 給定罷工的普通市場價格。一旦計算（校準），在標的資產的擴散過程中使用局部波動率函式，因此我們對它進行評估 $ (S_t,t) $