變異數互換罷工的下限
變異數交換罷工有一個著名的公式，內容為 $$ K_{var}^2 = \int_{-\infty}^\infty dz, n(z) I^2(z) $$ 在哪裡 $ I(z) $ 是 Black-Scholes 隱含波動率函式， $$ n(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 z^2} $$ 和 $ z $ 是布萊克-斯科爾斯` $ d_2 $ ’ 功能 $$ z = \frac{\log S_t/K}{I\sqrt\tau} - \frac{I\sqrt\tau}{2} $$ 例如，參見J. Gatheral (2006) 展示文稿中的幻燈片 7。
我想先啟發式地展示 $ K_{var}^2 \geq I^2(z=0) $ 如果二階導數 $ I^2(z) $ 寫 $ z $ 是 $ \geq 0 $ 對所有人 $ z $ .
首先，寫 $$ I^2(z) = I^2(0) + z \frac{dI^2}{dz}(0) + \frac{z^2}{2!}\frac{d^2 I^2}{dz^2}(a) $$ 對於一些 $ a\in (0,z) $ . 這只是泰勒剩餘定理並且是精確的。
將其代入變異數互換罷工的積分錶達式中， $$ \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty dz, n(z) I^2(z) &= I^2(0) \int_{-\infty}^\infty dz, n(z) + \frac{dI^2}{dz}(0) \int_{-\infty}^\infty dz, zn(z) \ &\quad + \frac{1}{2!}\int_{-\infty}^\infty dz, z^2 n(z) \frac{d^2 I^2}{dz^2}(a) \quad (a \in (0,z)) \ &= I^2(0) + \frac{1}{2!}\int_{-\infty}^\infty dz, z^2 n(z) \frac{d^2 I^2}{dz^2}(a) \quad (a \in (0,z)) \ &\geq I^2(0) \end{align*} $$ 第二個相等是因為 $ \int_{-\infty}^\infty dz, zn(z) = 0 $ 因為 $ z $ 不均勻並且 $ n(z) $ 是偶數，最後一個不等式來自以下假設： $ \frac{d^2 I^2}{dz}(z) \geq 0 $ 對所有人 $ z $ .
這有意義嗎？
根據您的工作假設，它確實是完全正確的。
這實際上也是 Gatheral 在他的書“波動率表面：從業者指南”（第 11 章關於變異數互換，第 140 頁及以下）中所指出的。具體來說，他寫道：
現在考慮以下 BS 隱含變異數偏斜的簡單參數化： $$ \sigma^2_{BS}(z) = \sigma^2_0 + \alpha z + \beta z^2 $$代入方程（11.5）並積分，我們得到 $$ E[W_T] = \sigma_0^2 T + \beta T $$我們看到 skew 對這個表達式沒有貢獻，只有曲率有貢獻。
警告：這裡應該在首先定義它的上下文中解釋偏斜。它對應於 BS隱含變異數的二階表示中的一階係數 $ z=0 $ （既不是ATM，也不是ATMF）。因此，這不是“通常的”隱含波動率偏斜 $ \partial \sigma_{BS}/\partial K $ 大多數從業者習慣於思考，並且變異數互換的公平罷工對其敏感，請參閱此相關問題。