波動率
年化波動率公式是一個近似值？
年化波動率公式突然出現問題……它真的是一個近似值嗎？
人們通常將股票價格每年百分比變化的標準差寫為$$ \sqrt{PeriodLength}*StDev(Daily)[1] $$但這個公式背後的假設似乎是$$ YearlyChange = \sum{DailyChange} [2] $$因此 $$ Var(YearlyChange) = Var(\sum{DailyChange}) = \sum{Var(DailyChange)} $$依此類推，在每日變化是獨立同分佈的假設下，可以得出公式。
但是公式
$$ 2 $$顯然不是真的？因為年度百分比變化不是每日百分比變化的總和，而是累計百分比變化？我是盲目的，錯過了什麼嗎？
正如@AlexC 和@amdopt 所指出的，該公式對於對數收益是精確的，而對於離散收益是近似的。定義價格變化的因素為 $ k $ 所以明天這個價格 $ P_{t+1} $ 是今天的價格倍 $ k $ : $ P_{t}*k $ .那麼一年內價格的變化是$$ \prod_{i \in [1, 252]}{k} $$變化的日誌是對數的屬性$$ \sum_{i \in [1, 252]}{ln(k)} $$然後適用變異數公式，因為對數收益是獨立同分佈的。用於該公式的每日變化必然是對數變化，而不是離散變化
修訂 2019.20.10
正如@Richard 所補充的那樣，對於年化公式來說，對數回報是線性獨立（不相關）的，並且每日回報的標準差被假定為恆定或必須適當加權，這是必要和充分的。獨立且相同的分佈是一個充分但非必要的假設。