波動率
布萊克-斯科爾斯和基礎
所以基本上
$ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdWt $
和
$ \mu=r-\frac12\sigma^2 $
我一直在思考這個後來的方程式。這非常有趣，因為它將無風險利率、波動性和資產漂移聯繫在一起。我總是喜歡並嘗試從一些簡單的角度來看待方程，例如假設某事物很大或很小或為 0，並試圖觀察它如何影響其他變數。這是記住一些依賴關係的好方法。
因此，查看後面的等式，首先要注意的是波動性的負號。當試圖解釋為什麼 VIX 是恐懼指數並且“投資者”不喜歡波動率增加時，這是可以的。但是，宏觀經濟學理論中提高無風險利率會轉化為對債券的需求增加和對股票的需求減少，因此它們的價格會下跌——這個假設在今天的市場上是相當真實的——當美國國債收益率上升時，股票下跌，反之亦然。
所以這不符合這個也是基本的假設 $ \mu=r-\frac12\sigma^2 $ .
你如何解釋這個事實？
我認為你對這件事的解釋太多了。這 $ -\frac12\sigma^2 $ 只是來自Jensen 不等式的一個修正項。
當從所謂的對稱收益（正態分佈）切換到傾斜的價格過程（對數正態分佈）時，您需要這個。
我認為這裡沒有更深層次的真理。
這裡要記住的一件事是，無風險/無套利模型的世界不一定是現實世界。具體來說，這個等式
$$ \mu = r - \frac{1}{2}\sigma^2 $$ 發生並非因為這是股票在現實中的表現方式（它們不會！對於標準普爾 500 指數，長期 $ \mu $ 如果我沒記錯的話，接近 6-9%），但是因為在定價公式中使用任何其他數字都會產生套利。