使用 SABR 模型的黑色波動率
根據維基百科，該
SABR模型如下所示 -$ dF_t = \sigma_t \left(F_t\right)^{\beta} dW_t $
$ d \sigma_t = \alpha \sigma_t d Z_t $
我有3個問題-
- 讓我們假設我們知道所有參數。那麼，當我們被告知，使用 估計黑色波動率時，這意味著什麼
SABR？通常，當我們估計Black volatility使用 BS 公式時，我們會取一些到期的期權價格，然後估計 $ \sigma $ 這是恆定的。在這種情況下，它本身是隨機的。那麼在上下文中是什麼Black volatility意思呢？SABR它是所有的平均波動率嗎 $ \sigma_t $ 在期權的生命週期內？- 現在讓我們說，我們不知道參數，我們希望估計它們。AFAIK，我們通常會研究各種行使價和到期日的期權的市場價格。那麼，我們是否有任何使用
SABR模型的期權價格的封閉形式解決方案？- 根據維基百科， $ F_t $ 是遠期合約。我們是否也可以使用
SABR期貨模型假設 $ F_t $ 是未來嗎？那麼反過來，鑑於現貨的波動率應該與期貨相同，因為它是線性導數，我們是否也可以估計現貨的波動率？
SABR 模型代表某種資產價格的隨機演化，**在該度量下，它是一個零漂移鞅。**對於遠期合約，它是所謂的“遠期衡量標準”，使用在遠期合約支付日到期的零息債券的價格作為計價單位。
現在“估計”和“校準”參數之間存在差異：第一個需要統計/計量經濟學方法和一組隨機變數或隨機過程的觀察值。估計參數並建構信賴區間以拒絕根據您正在建模的內容制定的原假設。
當你想校准你的參數時，你只是在最小化這些參數的預定函式和這些函式應該恢復的一些觀察量之間的差異。這兩種方法完全不同：校準模型與真正的數據生成過程完全正交，也沒有任何方法來評估假設的質量。
話雖如此，至少在 Black 和 Scholes 公式的相同意義上，沒有 SABR 期權公式這樣的東西：Black-76 公式隱含波動率作為 SABR 參數的函式的近似值。準確地說，Black-76 公式隱含波動率和 Bachelier（或正常）隱含波動率都有許多近似值（參見參考資料）。為簡單起見，我將重點關注 Black-76 的波動性。
讓 $ F_0 $ , $ K $ 和 $ T $ 分別為今天的遠期價格、期權到期時間和期權的行使價。那麼隱含波動率是一個量
$$ \sigma^{Black}{Market}(K,F_0,T) : Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}{Market}(K,F_0,T)) = MarketPrice(K,T) $$
在哪裡 $ Black $ 是 Black-76 期權價格（省略看漲/看跌，因為理論波動率相同）。現在按照參考資料你有一些功能
$$ \sigma^{Black}(K,F_0,T) = \sigma^{Black}_{SABR}(\alpha_0(T), \beta(T), \nu(T), \rho(T), K; F_0, T) + error $$
這樣 $$ Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}{Market}(K,F_0,T)) \simeq Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}{SABR}(K,F_0,T)) $$
因此，為了校準參數（我將跳過實際校準的複雜性），您必須：
- 為具有給定期限的遠期合約的不同行使價找到一組歐式期權的價格（請注意，實際上參數僅對於特定的期權期限是正確的）
- 計算此類價格的隱含波動率
- 查找參數 $ \alpha_0(T), \beta(T), \nu(T), \rho(T) $ 最小化 SABR 波動率近似值與您從市場價格中提取的隱含波動率之間的差異。
- 現在您已經校準了 SABR 模型。
請注意 SABR 模型實際上並不是一個“模型”：它是隱含波動率表面的實際參數化，您仍將使用 Black-76 公式為您的期權定價。
SABR 的真正用途是計算微笑修正期權敏感性（所謂的希臘人），您可以看到它可以改善您的套期保值變異數。請注意，這確實是 Hagan 的原始論文的名稱。
根據您的最後一個問題：期貨的波動性（或任何重要的期貨）與現貨的波動性不同。僅在您承認完全確定的利率的情況下，這是荒謬的（尤其是在利率期權的情況下）。在任何其他情況下，遠期價格（或利率）的波動性由標的資產的變異數和貼現率（以及任何共變異數）的組合給出。
順便說一句，這是遠期合約交易期權如此普遍的原因之一：隱含波動率已經“包含”上述組合，因此您不需要單獨估計/校準波動率和相關性。
參考
雷波納托，里卡多。波動性和相關性：完美的套期保值者和狐狸。約翰威利父子公司，2005 年。
哈根、帕特里克 S. 等人。“管理微笑風險。” 威爾莫特精選 1 (2002)：249-296。
Oblój, Jan. “微調你的微笑：更正 Hagan 等人。” arXiv 預印本 arXiv:0708.0998 (2007)。
- 這就是我們正在談論的黑色隱含波動率。SABR 中 Blacks Vol 的公式意味著當你計算 $ \sigma $ 使用該公式，您可以使用 Black 給出的封閉公式生成期權價格，現在給出了波動率參數。
- 是的。您查看期權市場價格並找到與這些價格相匹配的參數。正如您所提到的，當您有一個封閉的解決方案時，這特別容易。如上所述，我們確實有一個封閉的解決方案。