計算股票收益的年化波動率
假設我有一系列股票的月收益， $ r_1,r_2,\ldots $ . 進一步假設這是一個具有有限秒矩的獨立同分佈序列。
在每篇論文、報告、講稿等中，該股票回報的年化波動率給出為 $ \sigma(r_1)\sqrt{12} $ .
另一方面，如果我先將月收益年化，那就是如果我考慮 $ (1+r_1)^{12}-1,(1+r_2)^{12}-1,\ldots $ ，然後我得到 $ \sigma((1+r_1)^{12}-1) \approx 12\sigma(r_1) $ 自從 $ (1+x)^{12}-1 \approx 12x $ .
我的問題是我在做什麼有什麼問題？人們使用第一個公式來報告年化波動率只是慣例嗎？
無論您是否使用年化數字，都沒有區別。
如果您使用每月對數回報 $ {r_1,r_2,\cdots,r_{12}} $ 那麼當年的回報是 $ R=r_1+r_2+\cdots+r_{12} $ . 僅假設收益是獨立同分佈且標準差 $ \sigma $ 存在，則年收益率的標準差 $ R $ 是 $ \sqrt {12} \sigma $ .
如果您更喜歡使用年化回報，那麼您正在尋找 $ {12 r_1,12 r_2,\cdots,12r_{12}} $ . 全年的回報是 $ \frac{12r_1+12r_2+\cdots+12r_{12}}{12} $ 與之前的表達式相同，其波動性再次為 $ \sqrt {12} \sigma $ .
實際上，您所指的慣例來自假設回報是由正態分佈驅動的。如果您考慮一個正態分佈的隨機變數（隨機變數的時間序列），您可以證明分佈的變異數隨時間線性增長。這意味著如果你從 1 天回歸時間序列轉到 2 天回歸時間序列，則後者的變異數將是前者的兩倍。
$ \sigma^2_{annual} = 12 \sigma^2_{month} $
然而，後者的標準差（這是對波動率的最簡單估計）將是：
$ \sigma_{annual} = \sqrt{12} \sigma_{month} $
標準差的定義，作為變異數的平方根，使金融業作為一個整體，將時間的平方根（例如與每日波動率相比）作為轉換的正確方法為年度波動率。