用 Vega 計算隱含的 ATM 波動率
我們可以用 Vega 計算隱含的 ATM 波動率嗎？
通常，Vega 源自 Volatility，但我想知道相反方式的可用性。
假設您的意思是反轉 Black Scholes Vega，這似乎是可能的：
取 Vega 公式：
$ V = S \sqrt{\tau} n{\left (d_{1} \right)}= S \sqrt{\tau} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-0.5 d_1^2} $
重新排列以隔離 $ d_1 $ :
$ d_1^2=-2\ln \left(V \frac{\sqrt{2 \pi}}{S \sqrt{\tau}} \right) $
為了簡化，讓我們稱右手邊 $ C=-2\ln \left(V \frac{\sqrt{2 \pi}}{S \sqrt{\tau}} \right) $ ， 所以
$ d_1^2=C $
現在讓我們回憶一下著名的表達方式：
$ d_1= \frac{\ln S_0 -\ln Ke^{-r \tau} }{\sigma \sqrt{\tau}}+\frac{1}{2}\sigma \sqrt{\tau} $
我們可以將其縮寫（M 是貨幣性，v 是總波動率）：
$ d_1= \frac{\ln M }{v}+\frac{1}{2}v $
代入前面的表達式，
$ d_1^2=\left( \frac{\ln M }{v}+\frac{1}{2}v\right)^2=C $
現在我們需要求解 v（這是隱含的 vol 乘以時間到成熟時間的平方根， $ \sigma \sqrt{\tau} $ )，所以讓我們擴展正方形，並簡化：
$ \frac{\left(\ln M\right)^2 }{v^2}+\frac{1}{4}v^2+2 \frac{\ln M }{v}\frac{1}{2}v=C $
$ v^4+4 \left(\ln M -C\right)v^2+4 \left(\ln M\right)^2=0 $
所以所有設置為二次公式：
$ v^2=\frac{-4 \left(\ln M -C\right)\pm \sqrt{16\left(\ln M -C\right)^2-16 \left(\ln M\right)^2}}{2} $
我們可以簡化：
$ v^2=-2 \left(\ln M -C\right)\pm 2\sqrt{\left(\ln M -C\right)^2- \left(\ln M\right)^2} $
對於 ATM，ln M 將為零，因此公式大大簡化：4C。