波動性的增加能否降低深度價內歐式看跌期權的價格？
赫爾指出，期權價格隨著波動性的增加而增加。
我認為這種說法在特定情況下可能是錯誤的：當我們考慮深度價內歐式看跌期權時。
由於我們處於價內，標的資產的價格將接近於零。由於標的資產的價格不可能為負，波動的影響將是不對稱的：股價回升的可能性比下跌的可能性更大，這僅僅是因為下跌的空間不大從已經接近零的股價開始。
因此，更高的波動性更有可能導致股價回升，從而降低迴報，進而降低歐洲看跌期權的價格。
我的推理錯了嗎？提前致謝！
如果您持有期權，您總是做多，即如果波動性增加，您的頭寸也會增加 - 無論貨幣性和期權類型（看跌或看漲）。首先請注意，通過無模型看跌期權平價，看跌期權和看漲期權具有相同的 vega（即波動性的變化以相同的方式影響看跌期權和看漲期權的價格）。
現在讓 $ K\gg S_t $ ，那麼您的看跌期權是深度 ITM，但相應的看漲期權將是深度 OTM，那麼邏輯“看漲期權沒有什麼可輸的，只能贏，因此增加波動性應該會增加看漲期權的價格”，但這也會意味著看跌期權價格上漲。
在 Black-Scholes 模型中， $$ \begin{align*} \mathrm{Vega} &= S_te^{-qT}\varphi(d_1)\sqrt{T-t} \ &= Ke^{-r(T-t)}\varphi(d_2)\sqrt{T-t} \end{align*} $$ 這總是積極的。這裡， $ \varphi $ 表示正態分佈隨機變數的機率分佈函式。
如果您從對數貨幣的角度思考，也許它會幫助您的直覺 $ \ln S/K $ 代替 $ S/K $ . 讓我們看看投入資金的“深度” $ K=100, S=10 $ . 這聽起來很深奧，但在這種情況下，log-moneyness 的價值只是 $ -2.3 $ ，如果考慮到可能的範圍，這並不算多 $ \ln S/K $ 是 $ (-\infty,\infty) $ . 因此，當您說股價進一步下跌的空間不大時，這並不是真的。對數貨幣性是貨幣性的對稱度量，因為 $ S $ 是對數正態的，並且在某種意義上是一種更正確的貨幣量度。