使用 GARCH 模型的條件風險價值
本文： https ://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwjSlIHYnMj1AhWqNOwKHZfHDhkQFnoECAkQAQ&url=https%3A%2F%2Fwww.mdpi.com%2F2076-3387%2F9% 2F2%2F40%2Fpdf&usg=AOvVaw12ONJTGtEwL7xIYfPqbhBh 他們使用以下等式計算使用 GARCH 的條件風險值： $$ ES_q(X_{t})=\mu_{t}+\sigma_{t}ES_q(Z) $$ 在哪裡 $ \mu $ 來自平均預測模型和 $ \sigma $ 從波動率預測模型估計。 $ ES_q^t(Z) $ 是標準化殘差的條件風險值。我不明白如何計算。假設：
- $ r_t $ 是對數回報 $ r_t = \ln S_{t+1} - \ln S_t $ ;
- $ \varepsilon_t = r_t - \bar{r} $ 是殘差，其中 $ \bar{r} $ 是平均回報；
- $ \sigma_0^2 = \frac{\omega}{1-\alpha -\beta} $ 和 $ \sigma_t^2 = \omega+\alpha \varepsilon_{t-1}^2+\beta \sigma_{t-1}^2 $ 是零時間和時間的條件變異數 $ t $ 分別;
- $ \sqrt{\varepsilon_t^2} $ 是已實現的波動率和 $ \sqrt{\sigma_t^2} $ 是“擬合”波動率；
然後我不明白是否：
- $ ES_q(Z) = ES_q(\sqrt{\varepsilon^2}-\sqrt{\sigma^2}) $ 或者 $ ES_q(Z) = ES_q(\varepsilon) $ 或者 $ ES_q(Z) = ES_q(r) $ ?
- $ ES_q(Z) $ 是針對整個時間序列還是僅針對滑動視窗計算？
- $ \mu_t=\bar{r} $ 或者 $ \mu_t= $ 時間序列的平均損失？
在給定條件的情況下，如何使用 GARCH 模型計算條件風險價值？
對問題 1 的回答：
如鍊接文件中所述，您估計標準化殘差的預期短缺 (ES) 或風險價值 (VaR) $ z_t $ ，可以根據分佈假設計算，例如。高斯分佈或學生 t 分佈。請記住，退貨流程在表格上：
$$ r_t \vert \mathcal{F}_{t-1} = \mu_t + \sigma_t \cdot z_t, \quad z_t \overset{iid}{\sim} D(0,1), $$ 在哪裡 $ z_t $ 是標準化殘差。關於本文，這意味著您將預期短缺估計為：
$$ \text{ES}^{\alpha}t\left(\frac{r_t - \mu}{\sigma_t} \bigg\vert \mathcal{F}{t-1}\right) = \text{ES}_{t\vert t-1}^\alpha\left(z_t\right), $$ 你有一個估計 $ \sigma_t $ 通過您的 GARCH 模型和 $ \mu = \bar{r} $ 是您估計的平均回報。
作為另一種資訊來源，您可以關注**Kevin Sheppards 的計量經濟學筆記**，他有一整章專門討論風險價值和預期短缺，包括涉及 GARCH 動態的參數方法*（見第 8 章）*。
回答問題 2：
您可以估計整個樣本集的預期缺口，就像使用 GARCH 模型一樣。然而，我們經常對我們指定的風險度量的樣本外表現感興趣。在這種情況下，您可以通過提前 1 步預測 GARCH 模型來預測預期短缺（或 VaR），然後取消對預期短缺的估計。在這裡，您可以依靠 GARCH 模型上的滑動視窗來獲得下一個條件波動率估計。
最後，評估您對 ES 和 VaR 估計的表現也是一個好主意。您可以在上面連結的計量經濟學註釋中找到關於的子章節*（參見第 8.5 章）*。如果您需要更多靈感，可以在**此處找到另一篇關於 VaR 預測和比較的合理的好論文。**
對問題 3 的回答：
這句話， ” $ \mu $ 是根據作者在上述論文中使用的平均預測模型定義的，具有誤導性，我相信他們的意圖是推斷 $ \mu_t $ 可以遵循使用者指定的平均模型。這可能是自回歸模型或簡單的平均回報 $ \bar{r} $ 正如您在上面所描述的*（請注意，損失系列只是對 $ r_t $ ， IE。乘以 -1)*。