VIX公式的推導
我已經閱讀了很多關於 VIX 公式的推導。我可以說這是 - 調整 - 公平的變異數交換。但我看不出它是如何從變異數掉期率到 VIX 公式的。特別是我看不到第 4 頁上託管的 VIX 公式的最後一部分。
請您從船體技術說明 22中引導我：
$$ \begin{equation} \ E(V)= \frac{2}{T}ln\frac{F_{0}}{S^{}} - \frac{2}{T}\left[ \frac{F_{0}}{S^{}}-1\right] +\frac{2}{T}\left[\int_{K=0}^{S^{}} \frac{1}{K^{2}}e^{RT}p(K)dK + \int_{K=S^{}}^{\infty} \frac{1}{K^{2}}e^{RT}c(K)dK\right] \end{equation} $$
到VIX 公式 $$ \begin{equation} \sigma^{2}= \frac{2}{T}\sum_i^{}\frac{\triangle K_{i}}{K_{i}^{2}}e^{RT}Q(K_{i}) - \frac{1}{T}\left[ \frac{F}{K_{0}}-1\right]^{2} \end{equation} $$
您缺少的部分是通過對數的泰勒公式得出的近似值：
$$ \ln(1+x) \approx x-\frac{x^2}{2} ; . $$
將此應用於技術論文最終公式中的第一項：
$$ \frac{2}{T}\ln\frac{F_{0}}{S^{}} = \frac{2}{T}\ln\left(1+\left(\frac{F_{0}}{S^{}}-1\right)\right) \approx \frac{2}{T}\left(\left(\frac{F_{0}}{S^{}}-1\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{F_{0}}{S^{}}-1\right)^2\right) ;. $$
現在，該近似值的第一項與技術論文公式的第二項相抵消。你只剩下二次項了。