推導原木合約價格

我在讀紐伯格$$ 1999 $$日誌契約文件和日誌契約真的很困惑。所以如果回報是 $ \ln(S_T) $ ，那麼我們可以很容易地解決這種衍生品的價格： $$ f_t^s = e^{-r(T-t)}[\ln(S_t)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)] $$ 所以我的問題是，當我們有基礎合約的日誌合約時 $ F_t = S_te^{r(T-t)} $ , 我們如何推導出有收益的衍生品價格 $ \ln(F_T) $ ，如論文中所述： $$ f_t^F = \ln(F_t) -\frac{1}{2}\sigma^2(T-t) $$ 看起來像 $ f_t^F = f_t^se^{r(T-t)} $ ，但是為什麼因為自然對數是非線性變換。

應用 Ito 引理，你很容易證明 $ F_t $ 以風險中性衡量 $ \Bbb Q $ 是 $$ \frac{dF_t}{F_t} = \sigma dW_t $$ （漂移是 $ 0\cdot dt $ ， 代替 $ r\cdot dt $ 就像在動力學中 $ S_t $ )

因此，只需應用 (Neuberger, 1999) 的公式即可推導出有回報的衍生品價格 $ \ln (F_T) $ 通過更換 $ r = 0 $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/68953