波動率微笑的多項式插值之差

我使用 5 個波動點來建構波動微笑：放置 10D、放置 25D、ATMF、呼叫 25D 和呼叫 10D。因此，我有 5 對數據： (Delta, Vol) 比如說 (10;5.75) ；(25; 5.50) ; (50;5.25); (75;5.60) ; (90;5.70)。

我正在做一個簡單的拉格朗日插值，如下所示：

x = np.array([10, 25, 50, 75, 90]) #LIST OF DELTA
y = np.array([])

for index, elt in enumerate(vols[currency][tenor]):
   y=np.append(y,vols[currency][tenor][elt])

interpolation = lagrange(x, y) #TO KEEP
xpol = np.linspace(x[0], x[4], 90)
ypol_lag = interpolation(xpol)
plt.scatter(x, y, marker='s', c='r')
plt.plot(xpol, ypol_lag, "b")
plt.show()

考慮到我可以在彭博社觀察到的市場數據，這會帶來一個很好的微笑，非常現實：

然後，根據 Wystup, 2010 提供的公式，我正在轉換罷工中的每個增量：

因此我有我所有的貨幣對（Strike, vol），例如： (10;1.1650) ; （25；1.1710）；(50;1.1800) ; (75;1.1840); (90;1.1950)（非實數）。

如果我繪製這五個數字並使用與 deltas 相同的函式對它們進行插值：

x = np.array([K10p, K25p, K50, K25c, K10c])
y = np.array([])

for index, elt in enumerate(vols[currency][tenor]):
   y=np.append(y,vols[currency][tenor][elt])

interpolation = lagrange(x, y)

xpol = np.linspace(x[0], x[4], 90)
ypol_lag = interpolation(xpol)
plt.scatter(x, y, marker='s', c='r')
plt.plot(xpol, ypol_lag, "r")
plt.show()

令人驚訝的是，插值路緣不同，看起來不像微笑：

我不知道如何通過罷工獲得類似的插值……

謝謝你。

這不是一個真正的答案，但評論太長了。

拉格朗日/三次樣條插值對輸入數據非常敏感，給定稍微不同的輸入數據，它可以產生截然不同的插值。它不僅會影響相鄰點，還會影響曲線上的不同點。考慮這個例子。

x = np.array([10, 25, 50, 75, 90]) #LIST OF DELTA
y = np.array([5.60, 5.40, 5.25, 5.28, 5.35])

interpolation = lagrange(x, y)
xpol = np.linspace(x[0], x[4], 90)
ypol_lag = interpolation(xpol)
plt.scatter(x, y, marker='s', c='r')
plt.plot(xpol, ypol_lag, "b")
plt.show()

現在讓我們只更改第二點：

x = np.array([10, 35, 50, 75, 90]) #change from 25 to 35
y = np.array([5.60, 5.40, 5.25, 5.28, 5.35])

結果：

我們只改變了第 2 點，但整個曲線發生了變化（第 4 點和第 5 點之間的插值也發生了變化！）。三次樣條的問題在於它找到了求解線性方程組的參數，而找到的參數會影響整個曲線。三次樣條以這種方式是“不穩定的”。當您在罷工中轉換每個增量時，您正在以非線性方式更改輸入，從而導致整個曲線發生變化。

如果無論如何你想使用三次樣條插值，解決這個問題的方法是首先在轉換之前對數據進行插值（比如增量），然後對插值數據應用轉換。您應該在轉換之前和之後獲得相似的形狀。更準確地說，您有 5 個增量，例如對 20 個增量插入微笑。然後通過您使用的公式轉換 20 中的每個點。然後對 20 次罷工進行插值並繪製結果。

編輯：我已經在上面嘗試過這種方法進行拉格朗日插值，但我得到了數值不穩定的輸出。根據 numpy 文件，當我們有 20 個數據點時，這個函式是不穩定的。

警告：此實現在數值上不穩定。即使選擇最佳，也不要期望能夠使用超過 20 個點。

因此，我切換到 CubicSpline 函式，它產生與拉格朗日相同的圖形，但數值穩定。

當您執行以下程式碼時：

x = np.array([10, 25, 50, 75, 90])
y = np.array([5.60, 5.40, 5.25, 5.28, 5.35])

# We first interpolate data on deltas to create 20 points
interpolation = CubicSpline(x, y)
xpol = np.linspace(x[0], x[4], 20)
ypol_lag_org = interpolation(xpol)

# We then transform delta in strike by the equation for all points interpolated, we now have 20 points
K_list = []
for a, b in zip(xpol,ypol_lag_org):
   K = np.exp(norm.ppf(a/100)*(b/100)+0.5*((b/100)**2))
   K_list.append(K)
   
K_list = np.array(K_list) # this is vector of 20 numbers

# And then we interpolate the rest of the points and produce a graph
interpolation = CubicSpline(K_list, ypol_lag_org)
xpol = np.linspace(K_list[0], K_list[-1], 90)
ypol_lag = interpolation(xpol)
plt.scatter(K_list, ypol_lag_org, marker='s', c='r')
plt.plot(xpol, ypol_lag, "b")
plt.show()

你會得到一些看起來像微笑但在 (strike,vol) 空間中的東西。附加點增強了曲線的穩定性。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/66156