離散連續時間隨機波動率模型
離散時間隨機波動率模型是如何從連續時間模型中產生的？
另外，請原諒我的交叉發帖。
對於隨機波動率模型，我有以下連續時間 SDE。 $ S_t $ 是價格，並且 $ v_t $ 是一個變異數過程。 $$ dS_t = \mu S_tdt + \sqrt{v_t}S_t dB_{1t} \ dv_t = (\theta - \alpha \log v_t)v_tdt + \sigma v_t dB_{2t} . $$ 我更熟悉離散時間版本： $$ y_t = \exp(h_t/2)\epsilon_t \ h_{t+1} = \mu + \phi(h_t - \mu) + \sigma_t \eta_t \ h_1 \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\right). $$ $ {y_t} $ 是日誌返回，並且 $ {h_t} $ 是“對數揮發物”。請記住，參數可能會有些混亂；例如 $ \mu $ 每個模型中的 s 都不同。
如何驗證第一個離散化為第二個？
這是我到目前為止的工作。首先我定義 $ Y_t = \log S_t $ 和 $ h_t = \log v_t $ . 然後我用伊藤引理得到 $$ \begin{align*} dY_t &= \left(\mu - \frac{\exp h_t}{2}\right)dt + \exp[h_t/2] dB_{1t}\ dh_t &= \left(\theta - \alpha\log v_t - \sigma^2/2\right)dt + \sigma dB_{2,t}\ &= \alpha\left(\tilde{\mu} - h_t \right)dt + \sigma dB_{2t}. \end{align*} $$
我得到了 state/log-vol 程序片段。我使用歐拉方法進行離散化，設置 $ \Delta t = 1 $ ， 要得到 $$ \begin{align*} h_{t+1} &= \alpha \tilde{\mu} + h_t(1-\alpha) + \sigma \eta_t \ &= \tilde{\mu}(1 - \phi) + \phi h_t + \sigma \eta_t \ &= \tilde{\mu} + \phi(h_t - \tilde{\mu}) + \sigma \eta_t. \end{align*} $$
然而，觀察方程有點困難：
$$ \begin{align*} y_{t+1} = Y_{t+1} - Y_t &= (\mu - \frac{v_t}{2}) + \sqrt{v_t}\epsilon_{t+1} \ &= \left(\mu - \frac{\exp h_t}{2} \right) + \exp[ \log \sqrt{v_t}] \epsilon_{t+1} \ &= \left(\mu - \frac{\exp h_t}{2}\right) + \exp\left[ \frac{h_t}{2}\right] \epsilon_{t+1}. \end{align*} $$
為什麼平均收益不是 $ 0 $ 或者 $ \mu $ ? 我應該如何定義轉換？我懷疑這可能與參數和隨機變數的含義有關。在上面的離散時間模型中， $ y_t $ 是平均調整的對數回報。在上面的 SDE 中， $ \mu $ 可能意味著利率加上一半的變異數（關於連續複利與長期預期收益的問題）。
我想你也可以離散化原始價格過程而不是對數價格過程。你得到 $$ S_{t+1} = S_t + \mu S_t + \sqrt{v_t} S_t Z_t $$ （在哪裡 $ Z_t $ 是標準正態變數），或 $$ \frac{S_{t+1}}{S_t} - 1 = \mu + \sqrt{v_t} Z_t. $$ 得到的想法來自：https ://arxiv.org/pdf/1707.00899.pdf