從不一致的時間間隔估計歷史波動率
給定一致時間間隔的歷史資產價格，可以將年度波動率估計為：
SampleStDev (log (S i / S i-1 )) / sqrt (間隔)
當時間間隔不一致時（例如在 S 1後 1 天觀察到 S 2，但在 5 天后觀察到S 3 ），正確的方法是什麼？更長的時間間隔是否應該在估計中獲得更大的權重？
為了使@nbbo2 的答案更準確，讓我們假設我們觀察到各種和 $ z_{k,h} $ 獨立同分佈的隨機變數 $ x_i $ （即返回），
$$ z_{k}\equiv \sum_{i=k-h_k+1}^k x_i $$ 在哪裡 $ h_k $ 是聚合的視野。為簡單起見，讓我們匯總一、二、三……個人每日收益， $ x_i $ . 在“正常”的一天，我們會有 $ h=1 $ ，而在星期一，我們通常有 $ h=3 $ .
假設正態分佈的個人回報貢獻和“最小時間分數” $ \Delta $ ，例如 $ \Delta = 1/255 $ ， 我們有
$$ x_i\sim N(\mu\Delta,\sigma^2\Delta)\Rightarrow z_k\sim N(\mu\Delta_k,\sigma^2\Delta_k) $$ 在哪裡 $ \Delta_k=\sum_{i=k-h_k+1}^k\Delta=\Delta \times h_k $ .
我們現在可以找到最大概似估計量。給定 $ n $ 觀察 $ z_1,\ldots,z_n $ 和所有單獨觀察視窗的知識 $ \Delta_1,\ldots,\Delta_n $ 對數概似是
$$ l(z)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)-\frac{n}{2}\ln(\sigma^2)-\frac{n}{2}\sum_k^n\ln(\Delta_k)-\frac{1}{2}\sum_k^n\frac{(z_k-\mu\Delta_k)^2}{\sigma^2\Delta_k} $$
最大概似估計量如下：
$$ \hat{\mu}=\frac{\sum_k z_k}{\sum_k \Delta_k} $$ 和 $$ \hat{\sigma^2}=\sum_k\frac{\left(z_k-\hat{\mu}\Delta_k\right)^2}{n\Delta_k} $$