伽瑪與波動風險
原始問題：伽瑪和波動風險之間有什麼聯繫？
這讓我問：
- 什麼是波動風險定義以及衡量它的良好做法是什麼？
考慮到這個問題，我能想到的就是這樣：
考慮一個市場 $ (S^0, S) $ 由一項非風險資產組成 $ S^0 $ 和一項風險資產 $ S $ . 這個市場的利率是 $ r $ （假設常數只是為了簡化。另外，考慮一個適應的平方可積過程 $ \sigma $ 並假設 $ S $ 跟隨
$$ S_t= S_0 + \int_0^t r S_u ~du +\int_0^t \sigma_u S_u dW_u \quad , t \geq 0 $$ 在風險中性機率下。假設交易者評估價格 $ v $ 到期期權 $ T $ 通過固定 $ \sigma_t=\bar{\sigma}(t,S_t) $ ，局部波動的函式。然後，我知道覆蓋誤差由下式給出（可以通過 Feyman-Kac 定理和 Itô 引理的簡單應用來證明）$$ \begin{align} \text{Err} = V_T- v(T, S_T) &= \int_0 ^T e^{r(T-t)} (\bar{\sigma}(t,S_t) - \sigma_t) \partial^2_x v(t,S_t)dt \&=\int_0 ^T e^{r(T-t)} (\bar{\sigma}(t,S_t) - \sigma_t) \Gamma(t,S_t)dt,\end{align} $$ 在哪裡 $ V = (V_t)_{0 \leq t \leq T} $ 是複制投資組合和 $ v(t,x) $ 是當時期權的內在價值 $ t \in [0,T] $ 並發現 $ S_t=x $ . 因此，我們得出結論，如果：
- **$ \Gamma \geq 0 $ （即凸價格）：**高估 $ \bar{\sigma}(t,S_t) $ 確保收益，並低估 $ \bar{\sigma}(t,S_t) $ 確保損失。
- **$ \Gamma\leq 0 $ （即凹價）：**低估 $ \bar{\sigma}(t,S_t) $ 確保獲得收益，並且高估 $ \bar{\sigma}(t,S_t) $ 確保損失。
- **$ \Gamma \approx 0 $ （即中性 Gamma 對沖）：**對沖對已實現的波動性較弱。
我是否朝著正確的方向回答這個問題？
我會很感激任何建議。提前致謝。
我認為您缺少的只是 Black-Scholes 模型中的 Vega-Gamma 關係。即：
$$ Vega = \frac{\partial v}{\partial \sigma} = \sigma(T-t)S^2 \frac{\partial^2 v}{\partial S^2} = \sigma \tau S^2 \Gamma $$ 將其代入您的覆蓋誤差中，您可以根據 Vega 得到它的表達式，這是您對隱含波動率敞口最自然的衡量標準。
這不是通過方程式將兩者聯繫起來的理論/學術答案。但從實踐者的角度來看。vol 和 gamma 之間的關係取決於您採用的策略。
例如。在短跨/扼殺/蝴蝶/鐵禿鷹。你的空頭 theta 和你承擔的風險是伽馬風險，即使你的 delta 中性，以及隱含的波動率風險。如果隱含波動率上升，您的合約價值就會上升，並且由於您做空合約，您的頭寸會受到負面影響。更不用說，如果實際波動率確實上升，並且股票向您的盈虧平衡區域移動，無論是向上還是向下趨勢，您也會賠錢。
這引發了另一個問題，情況總是如此，是否可以建立一個頭寸，使得一個頭寸是長 theta（與說短 gamma 相同）但長波動性（長 vega）？答案是肯定的。在多頭日曆中，您的技術空頭 theta，您賣出的遠期期權的 theta 大於所購買的較短到期合約的 theta，您從價差中獲得的淨空頭溢價，您的多頭 theta，空頭 gamma，但是然而你的長期維加/波動性。
所以你的問題的答案 - 這取決於。只是我的 2 美分