回歸中的 GARCH 模型常數

當對一個常數為 1 的變數進行回歸時，這個常數的係數就是平均值。但是，當我指定殘差遵循 GARCH(1,1) 模型時，常數的係數不再代表我模型中的平均值。在我看來，這是沒有意義的，因為殘差被定義為均值為零。下例中的 mu 應與 R_d 的均值相同。

R中的小例子：

library(rugarch)
library(quantmod)
getSymbols('C', from = '2000-01-01')
C = adjustOHLC(C, use.Adjusted = TRUE)
R_d = ROC(Cl(C), na.pad = FALSE)
mean(R_d)
-0.000436420257283668

spec = ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)), variance.model = list(model = 'sGARCH', garchOrder = c(1, 1)), distribution = 'norm')
fit = ugarchfit(data = R_d, spec = spec)
coef(fit)

mu: 0.000430648533256351
omega: 2.11481883824743e-06
alpha1: 0.0871525584932368
beta1: 0.911847414938857

對於 egarch 或 gjr，我也得到了不同的結果 mu..

在計算簡單算術平均值時，每個觀測值具有相同的權重：

$$ \hat \mu^{simple} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T x_t. $$ 如果觀察結果是 $ i.i.d. $ , $ \hat \mu^{simple} $ 是總體均值的有效估計量。

在估計 GARCH 過程的均值時， $ \hat \mu^{simple} $ 不再有效。相對於低雜訊觀測值降低雜訊觀測值的權重以提高效率是有意義的。因此，您擬合 GARCH 模型並使用逆擬合標準差作為權重：

$$ \hat \mu^{GARCH} = \frac{1}{\sum_{t=1}^T \hat \sigma_t}\sum_{t=1}^T \frac{x_t}{\hat \sigma_t}. $$ 通常，估計權重的情況與相同權重的情況給出不同的數字：

$$ \hat \mu^{simple} \not\equiv \hat \mu^{GARCH}. $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/27478