使用高頻價格回報的 GARCH 模型
我想預測時間長度的變異數 $ k\delta $ 基於時間步長的價格（回報）時間序列 $ \delta $ . 我將以時間間隔長度將 GARCH(1,1) 模型應用於子樣本 $ k\delta $ 在股票收益時間序列上 $ \big(r(i\delta,(i+1)\delta)\big)_{i=0}^I $ 其中每一個元素都是時間之間的回報 $ i\delta $ 和 $ (i+1)\delta $ . 我認為遞歸公式是 $$ h(t,t+k\delta) = c+a,u(t-k\delta,t)^2 +b,h(t-k\delta,t) \tag1 $$ 在哪裡 $ h(t-k\delta,t) $ 是估計的變異數和 $ r(t-k\delta,t) $ 是時間間隔的回報 $ (t-k\delta,t) $ . 我想對等式（1）使用完整的回報時間序列。
- 對時間間隔使用以下變異數估計是否正確 $ (t-k\delta,t) $ ? $$ u(t-k\delta,t)^2 := \sum_{i=1}^k r\big(t-i\delta,r-(i-1)\delta\big)^2. $$ 然後將其代入最大概似優化器作為時間間隔的變異數 $ (t-k\delta,t) $ 代替通常的簡單估計器 $ r(t-k\delta,t)^2 $ . $ \big(u(jk\delta,(j+1)k\delta)\big){j=0}^{q-1} $ 形成一個新的時間序列。其高斯負對數概似 $$ l(a,b,c):=\sum{j=0}^{q-1} \bigg( \frac{u(jk\delta,(j+1)k\delta)^2}{h(jk\delta,(j+1)k\delta)}+\ln h(jk\delta,(j+1)k\delta)\bigg). $$
- 我是否必須使用類似已實現核心的東西，如Ole E. Barndorff-Nielsen、Peter R. Hansen、Asger Lunde 和 Neil Shephard 在實踐中實現的核心：交易和報價中所建構的那樣？
根據記憶，在 GARCH 模型中縮放離散時間步長的長度並不簡單。例如，您不能像我們對其他一些更簡單的過程所做的那樣，只將事物乘以時間的平方根。
對於這種情況 $ \delta \rightarrow 0 $ , 收斂是在 Nelson (1990) “ARCH Models as Diffusion Approximations”中得出的。我認為在從一個離散步長縮放到另一個離散步長方面也做了一些工作，但現在我沒有參考（但如果你能找到它，這將有效地為你的問題提供學術答案）。
關於您的具體問題，更換 $ u^2 $ 和 $ \sum_i r_i^2 $ 相當於用已實現的變異數估計量代替平方收益。結果不是標準的 GARCH 模型（我不認為……），雖然我懷疑它在經驗上會表現得很好，所以僅僅因為它不適合標準框架並不是放棄它的理由瑟。
至於是否需要使用 Realized Kernels 之類的東西，這完全取決於長度 $ \delta $ . 在較低的頻率下，例如 5 分鐘，您可以相當安全地對收益進行平方和，而不必過多擔心微觀結構雜訊（當然這完全取決於標的資產的流動性 - 資產交易越頻繁，頻率越高你可以去而不必擔心微觀結構的噪音）。在更高的頻率下，例如 5 秒，您可能需要使用校正微結構雜訊的估計器，例如 Realized Kernels。
最後一個興趣點，如果 $ c = 0 $ ， 和 $ a + b = 1 $ ，如果我們準備做一些額外的英雄假設，比如在區間內實現的變異數收斂到真實的變異數 $ (t - k \delta, t) $ ，那麼我認為您編寫的模型會收斂，如 $ \delta \rightarrow 0 $ , 到標準的簡單指數平滑，例如： $$ \begin{equation} \hat{y}t = \alpha y{t-1} + (1 - \alpha) \hat{y}_{t-1} \end{equation} $$ 注意，在這個等式中 $ \hat{y}t $ 是變異數預測和 $ y{t} $ 是真正的變異數。“英雄假設”是實現變異數收斂到真實變異數所必需的那些。
**附加：**您似乎非常關注您的模型是“正確”還是“合法”。重要的是要理解這些詞在這裡沒有任何意義。所有模型都是錯誤的。並且所有估計技術都是低效的，除非在現實世界中很少（從不？）滿足的理想理論假設下。所以我不太確定如何回答這個問題。也許是這樣：
重要的是該模型是否可以幫助您實現最終目標。例如，一個可能的最終目標可能是找到一組對隱含波動率（即期權價格）或 VIX 有用的波動率預測，這樣您就可以設計一個有利可圖的交易規則。在這種情況下，您的“更好”和“更差”指標可能類似於：“找到一個樣本外平方誤差小於標準 GARCH(1,1) 的波動率預測模型”。以我的經驗，在這種情況下，用跨越相同區間的更高頻率回報建構的已實現變異數替換平方回報幾乎總是可以減少估計誤差，並將幫助您實現這一目標。
關於估計方法，我們可以應用相同的邏輯。當然，理論可能會告訴你用高斯創新構造一個最大概似估計量，據我所知，你寫的看起來不錯（但我在這裡不做任何承諾——我不會自己研究數學來檢查你的工作:-)。但這可能無法為您提供最佳的樣本外預測。事實上，根據我的經驗，穩健的估計方法（即那些減少/消除分佈尾部觀察影響的方法）在處理財務數據時往往會提供更好的估計。