GARCH 變異數與波動率的標準差
在我與 GARCH 和波動性相關的一系列問題中，我終於認為我已經掌握了它。你們為我解決我的問題提供了很大的幫助。
我的下一個問題只是證實了我的懷疑。眾所周知，在金融領域，波動率通常被理解為回報的標準差。但是，GARCH 分析可幫助您預測過程的條件變異數。
假設我有一個系列的對數回報的 ARIMA-GARCH 預測。GARCH 為我們提供了方程：
$$ y_t = x’t + \epsilon_t $$ $$ \epsilon_t|\psi_t ~ N(0, \sigma_t^2 $$ $$ \sigma_t^2 = \omega + \alpha_1\epsilon{t-1}^2 + … + \alpha_q\epsilon_{t-q}^2 + \beta_1\sigma_{t-1}^2 + … + \beta_p\sigma_{t-p}^2 $$ 這些方程定義了時間的變異數 $ t $ , $ \sigma^2_t $ .
如果我的預測返回值 $ 0.05 $ 對於提前 1 步的預測，我可以簡單地取預測的平方根來獲得條件波動率 - 對嗎？因此，在這種情況下，對波動性的提前 1 步預測是：
$$ \sqrt{0.05} = 0.1732 $$ 這對我來說似乎是正確的，但我很難找到這樣做的人，我想確保這是正確的。
謝謝！
如果您的問題是：“鑑於所有可用的資訊 $ t $ ，如果我計算 1 期提前預測 $ r_{t+1} $ , 是條件波動率 $ [t,t+1[ $ 由 $ \sqrt{r_{t+1}} $ ?”，答案是否定的。
要計算提前 1 個週期的條件變異數，您應該使用模型方程（請參閱這篇文章，這可能有助於您更好地理解 ARMA-GARCH 範式）。
這是一個說明性範例。考慮退貨過程的 ARMA(1,1)-GARCH(1,1) 模型：
$$ \begin{align} r_t &= a + b r_{t-1} + c \sigma_{t-1} z_{t-1} + \sigma_t z_t \ \sigma^2_t &= d + e \sigma^2_{t-1} + f r_{t-1}^2 \end{align} $$ 和 $ {z_t}1^\infty $ 獨立同居 $ N(0,1) $ 變數，例如： $$ \mathbb{E}\left[r_t \vert \mathcal{F}{t-1}\right] = a + b r_{t-1} + \tilde{c} z_{t-1} $$ 對於 ARMA 部分（條件平均模型）和 $$ \mathbb{V}\left[r_t \vert \mathcal{F}{t-1}\right] = d + e\sigma^2{t-1} + fr^2_{t-1} $$ 對於 GARCH 部分（條件變異數模型）。 現在假設你觀察到一系列 $ N $ 返回 $ \mathbf{r} = {r_1,…,r_N} $ . 你根據這些回報校准你的模型（通常通過最大概似估計），你會得到一堆模型參數（這裡 $ a, b, c, d, e, f $ ）。此時，您需要做的就是使用 GARCH 方程來計算潛在條件變異數。為此，您需要一個初始值 $ \sigma_1 $ 初始化遞歸，在這種情況下，您將擁有：
$$ \sigma^2_2 = d + e \underbrace{\sigma^2_1}{\text{initialisation}} + f \underbrace{r^2_1}{\text{$1^{st}$ observed return}} $$ $$ \sigma^2_3 = d + e \underbrace{\sigma^2_2}{\text{computed @ step 1}} + f \underbrace{r^2_2}{\text{$2^{nd}$ observed return}} $$ $$ \vdots $$ $$ \sigma^2_{N+1} = d + e \underbrace{\sigma^2_N}{\text{computed @ step N}} + f \underbrace{r^2_N}{\text{$N^{th}$ observed return}} $$ 現在您有 1 個提前期條件變異數 $ \sigma^2_{N+1} $ 只需取平方根即可獲得條件波動率。 真正的問題是如何獲得 $ \sigma_1 $ ? 這通常是模型規範的一部分，並且有不同的方法可以做到這一點，請參閱這篇文章，尤其是已接受答案的評論中的連結（REM：使用的符號是 $ h_1 := \sigma^2_1 $ )
您可以輕鬆地將這種方法擴展到最高階 GARCH 模型。