波動率
不同波動率的對沖（Ahmad 和 Wilmott 論文）
在他們的論文中，他們表明： - 如果您對已實現波動率進行套期保值，則總損益的現值是基於已實現波動率的期權價值與基於隱含波動率的期權價值之間的差額（這完全有意義） - 如果您使用隱含波動率對沖，則總損益的現值等於 1/2 乘以 gamma 現金積分乘以每個波動率平方之間的差（這也是有道理的）
他們還評論說，總損益的預期不取決於波動性。你如何證明這一點？這是否意味著在2個案例中計算的2個現值相等？我們能用數學證明嗎？為了計算第二種情況下的期望，他們推導出一個 pde，但不給出一個封閉形式的解決方案。它不應該等於用 2 個波動率計算的 black-scholes 價格的差嗎？有件事我不明白。感謝您的幫助。
克里斯
套期保值策略的選擇不會影響預期盈虧，因為套期保值只包括在市場上購買或出售標的物，在交易時，每一種交易的預期價值都為零。
正如另一個答案所說，預期 PnL 不依賴於對沖投資組合，因此您可以用任何 vol 對沖，預期 PnL 是相同的。
在這種特殊情況下，您可以簡單地觀察到，在論文中，以實際 vol 對沖的情況的 PnL 具有 gamma 項，而其他兩項在風險中性測度（Girsanov 定理）下結合形成布朗運動，所以在風險中性度量中，第 2 項和第 3 項的期望為 0。
$$ d(PnL)= Gamma term + (X(u-r)/s)dt+ XdW $$， 對於一些 $ X $ . $ u $ 是漂移， $ r $ 是無風險利率， $ s $ 是卷。 $ W $ 是現實世界中的布朗運動。根據 girsanov，在風險中性測度下，第 2 項和第 3 項組合的預期為 0。
與第二種情況相同，您再次留下了 gamma 項。