假設您的風險價值模型基於正態假設，例如使用 Delta-Gamma 正態模型，該近似值是否完美適用於股票和期權組合？其他樂器呢？

實際上，我在這裡感覺到兩個問題，1）圍繞 $ \sqrt{T} $ - 風險範圍擴展的假設；**2)**質量 $ \Delta $ - $ \Gamma $ - 與 的關係的近似值。

關於問題 1。

時間縮放的平方根來自於基礎隨機變數的獨立同分佈假設。如果您的 rv（可能是投資組合 PnL）在時間上真正獨立並且在時間點上相同，那麼

$$ \sigma^2\left(Z_k\right)\equiv \sigma^2\left(\sum_{1}^{k}x_i\right)=k\sigma_x^2, $$ 即波動率與 $ \sqrt{k} $ . 同樣：實際上，此結果僅適用於 iid 變數。下圖描繪了一個使用正態分佈（綠色）和學生 t 分佈範例（紅色）的快速範例。每個點都是 99% 的分位數，基於具有 5000 個場景的模擬以及在 x 軸上添加的組件數量。例如，右上角的點（紅色）是自由度等於 3 的 1000 個學生 t 分佈的 rvs 總和的 99% 分位數。在這兩種情況下， $ \sqrt{t} $ -rule 能夠（完美地）匹配每個時間範圍內的 99% 分位數。

關於問題 2：

由於您的風險因素，即模擬 pnl 背後的驅動力，很可能是獨立同分佈的（至少我們可以假設），我們需要確保隨後在時間 0 聚合“小”本地/非本地衝擊（ Delta-Gamma-Approach）在“更大”的移動下加起來相同的東西。

線性範例：

對於線性乘積，這等式成立，即 $ f=a+bx $ ,

$$ f(x_0+ x)-f(x_0)=bx $$

這是線性的。因此，如果 $ x $ 在這種情況下是獨立同分佈的， $ \sqrt{T} $ -規則將持續 $ f(x) $ 也是。

非線性範例（Delta gamma）

讓我們看看非線性貢獻如何加起來 $ f(x)=a+bx+cx^2 $ :

$$ f(x_0 + x)-f(x)=(b+2cx_0)x+cx^2 $$

從這個非常簡單的例子可以看出， $$ f(x_0+\sum_i x_i)-f(x_0)\neq \sum_if(x_0+ x_i)-f(x_0) $$

因此，我們不能簡單地“傳遞”風險因素（及其 iid）屬性。

在下面找到另一個非常簡單的例子。假設我們再次有一個獨立同分佈的風險因素，假設這是股票收益。那麼，股票的全部 reval pnl 是 $$ f(x)=S(e^{x}-1) \approx S(x+0.5x^2) $$

這個簡單的分析圖（下圖）顯示，對於小時間範圍，定價函式的線性分量（“ $ bx $ “術語）占主導地位，因此將 $ \sqrt{t} $ iid 風險因素的性質。在某一點，高階（ $ x^2 $ 和更高）貢獻會產生影響並將主導功能。此時，時間平方根規則不再適用於其標準形式。

實用總結

在實踐中，我經常遇到規則在實踐中的應用。對於短期內、“好的”風險因素（足夠獨立同分佈）和“簡單”的產品，它的應用似乎是合理的。在更長的時間尺度上（ $ > $ 10 個工作日），我們通常會看到它不能再應用，例如，自相關或非線性收益。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/53547