如何將 30 天隱含波動率預測與 GARCH 預測進行比較？
我試圖了解是否有一個好方法來比較來自不同來源的波動率預測，即隱含波動率和 GARCH。我將概述一些我相信的陳述，如果有人可以驗證它們是否正確或解釋我為什麼錯了，我將不勝感激。
$ \textbf{1.} $ 30 天隱含波動率是從現在起 30 天到期的期權的平均隱含波動率。該值是年化的，因此（大致）代表了標準差的衡量標準 $ \textit{prices} $ 未來一年的庫存。為了獲得 30 天隱含波動率的每日值，我們使用$$ \sigma_{\text{day}}=\frac{\sigma_{\text{annualized}}}{\sqrt{365}} $$
$ \textbf{2.} $ GARCH 模型應始終應用於回報或對數回報而不是價格，因為我們通常在正態假設下工作，我們相信回報比價格更遵循正態分佈。這 $ \textit{volatility} $ GARCH 模型的輸出是條件變異數， $ \text{Var}[y_t|y_{t-1},…] $ 我相信這是條件。用於模擬 GARCH 的收益變異數？我相信這是因為對回報和對數回報建模會給出不同的變異數，如果 GARCH 輸出 cond，這將是不一致的。標的股票價格的差異。
因此，我的主要問題是，
鑑於隱含波動率代表股票基礎價格變化的衡量標準，而 GARCH 輸出回報的條件變異數，那麼如何比較兩者？有沒有辦法改變 GARCH 預測，以便我們討論價格的變異數？
鑑於我對隱含波動率和 GARCH 預測有預測（並且可以執行一些轉換以獲得它們的價格或回報，請參閱上一個問題），我如何將這些樣本外預測與隨後的實際波動率進行比較？這是否可以通過 Mincer-Zarowitz 回歸來完成，並說明相關的誤差度量？
最後一個問題，如果我使用隨機波動率模型來給出條件變異數，例如 Taylor’s (1986)（在 $ \texttt{stochvol} $ 包）我可以執行 GARCH 預測中使用的相同類型的轉換來獲得價格波動而不是收益嗎？
如您所見，我對引用/建模/預測波動率的許多不同方式感到相對困惑。如果有人可以回答我的問題，請做:)謝謝
這是對您的 2. 聲明的部分回答。要點是，
- 有條件的（根據最新的資訊 $ t-1 $ ) 價格差異 $ P_t $ 與“回報”的條件變異數相同 $ P_{t}-P_{t-1} $ ;
- 的條件變異數 $ \log P_t $ 與條件變異數相同 $ \log P_t - \log P_{t-1} $ ;
- 的條件變異數 $ P_t $ 不等於條件變異數 $ \log P_t $ （同樣對於 $ P_{t}-P_{t-1} $ 對比 $ \log P_{t} - \log P_{t-1} $ ).
因此以下是不正確的：
GARCH 模型應始終應用於收益或對數收益而不是價格
認為 $ P_t $ 是兩個分量的總和：
- 確定性的 $ \mu_t=g(I_{t-1}) $ ， 在哪裡 $ g(\cdot) $ 是一些功能和 $ I_{t-1} $ 是最新的資訊 $ t-1 $ ， 和
- 隨機的 $ \varepsilon_t $ .
唯一未知的組件 $ t-1 $ 是 $ \varepsilon_t $ , 其中的條件變異數是 $ P_t $ （條件是 $ I_{t-1} $ ).
與此同時，“回歸” $ P_{t}-P_{t-1}=g(I_{t-1})+\varepsilon_t-g(I_{t-2})-\varepsilon_{t-1} $ . 這裡再次是當時唯一未知的組件 $ t-1 $ 是 $ \varepsilon_t $ ，所以條件變異數 $ P_{t}-P_{t-1} $ 是條件變異數 $ \varepsilon_t $ – 同 $ P_t $ .
所有相同的邏輯也適用於您以乘法而不是加法的方式分解價格。
**但是，**如果您考慮對數而不是級別，情況就會發生變化。如果你假設 $ \log P_t=g(I_{t-1})+\varepsilon_t $ ，你會得到一個不同於你假設的條件變異數 $ P_t=g(I_{t-1})+\varepsilon_t $ . 這可以通過一個反例來證明（任何人都可以）。