PRIIP 文件中的 VEV（VaR 等效波動率）公式是如何得出的？
最近關於 PRIIP的法規（第 32 頁）要求計算一個 VaR 等效波動率，定義為
$$ \mbox{VEV}=\frac{\sqrt{3.842-2\ln \mbox{VaR}}-1.96}{\sqrt{T}} $$ 有誰知道他們是如何想出這個公式的？
讓我們假設 T=1 並讓 S 是零漂移的幾何高斯過程，即 $ \ln(S_1/S_0) $ 正態分佈，均值 $ -1/2\times\mathrm{VEV}^2 $ 和波動率 VEV。
然後
$$ \ln(\mathrm{VaR}/S_0) = -1/2\mathrm{VEV}^2 - \mathrm{VEV} \times 1.96 $$VAR 在 $ 0.975 $ 分位數。 這是 VEV 中的二次方程，有解
$$ \mathrm{VEV} = -1.96 \pm \sqrt{1.96^2 - 2\ln(\textrm{VaR}/S_0)}. $$ 我們採取積極的解決方案並完成。
要回答這個問題，分開提及 VaR 部分和 VEV 部分可能是有意義的。
- 使用 VaR 的參數化方法的 VaR 範例：假設投資為 $ V_0 = 10,000 $ 符合正態分佈的金融資產及其每日對數回報，使得 $ r_t \backsim N(\mu, \sigma^2) $ 平均 $ \mu=0.02 $ 和標準差 $ \sigma = 0.7 $ , 計算投資的 VaR $ p = 2.5% $ 1天。由於 VaR 可以通過多種方式定義，例如價值 $ \bigtriangleup V_1 $ 投資可以貶值或作為價值 $ V_1 $ ( $ V_1 < V_0 $ )，表示新的投資水平，後面的定義在範例中使用。解決方案是：
$$ \begin{equation} VaR = V_t(exp(\Phi^{-1}(0.025)\sigma + \mu)). \end{equation} $$ 標準正態分佈的 2.5 分位數是 $ \Phi^{-1}(0.025) $ 是-1.96。 $$ \begin{equation} 10,000(exp(-1.96 * 0.7 + 0.02)) = 2587.22, \end{equation} $$ 意思是機率 $ 2.5% $ 一天投資 10,000 到資產將是 2587.22 或更少。 2. 正如人們可能猜測的那樣，給定每日對數回報的正態分佈假設和已經計算的 VaR，例如通過蒙地卡羅模擬，人們可以推斷 $ \sigma $ . 似乎 VEV 正在回答的一個問題是：“標記的比例參數是什麼？ $ \sigma $ 一個正態分佈的隨機變數，如果假設“貶低”分佈 $ N(-\dfrac{1}{2} \sigma T, \sigma^2T) $ VaR 水平的 2.5 個分位數。 $ T $ 表示以年為單位的期間。
[有關 T 和分佈假設的更多資訊，請參閱此連結這是一種可行的替代期權定價方法嗎？]。
$$ \begin{equation} VaR = V_t(exp(\Phi^{-1}(0.025)\sigma \sqrt{T} +(-\dfrac{1}{2} \sigma T) )), \end{equation} $$ 將其重寫為二次方程： $$ \begin{equation} \dfrac{1}{2} T\sigma^2 + 1.96\sqrt{T}\sigma + \ln{\dfrac{VaR_0}{V_0}}=0, \end{equation} $$ 可以通過判別式求解 sigma $ ax^2 + bx + c = 0 $ ， 什麼時候 $ \sigma $ 取代 $ x $ . 最後，一個否定的解決方案被忽略一個得到 VEV 公式： $$ \begin{equation} \sigma = \dfrac{\sqrt{3.8416-2\ln{\dfrac{VaR_0}{V_0}}}-1.96}{\sqrt{T}}. \end{equation} $$