我應該如何將外匯波動面從一種基礎貨幣轉換為另一種基礎貨幣？
這可能是一個非常簡單的問題，但我想了解如何將以一種基礎貨幣報價的外匯波動麵點轉換為另一種貨幣？例如，我有以歐元基礎貨幣報價的外匯交易量。
我想改用美元基礎貨幣。
我是否需要建立相關矩陣和/或使用三角形方法來計算 Fx 隱含波動率？
任何指南表示讚賞。
沒有簡單的方法，您必須做出相關性假設。
例如，假設您有一個波動率表面 $ \text{EURUSD} $ 和另一個波動面 $ \text{USDJPY} $ 你想建立一個波動率表面 $ \text{EURJPY} $ .
你從觀察一個成熟的電話開始 $ T $ 並罷工 $ K $ 上 $ \text{EURJPY} $ 以 JPY 支付的收益相當於一個期權交換一定數量的 $ \text{EURUSD}_T $ 美元的數量 $ K \text{JPYUSD}_T $ 美元，這樣
$$ D_{\text{JPY}}(T)E^{Q_{\text{JPY}}}[(\text{EURJPY}T - K)^+] = D{\text{USD}}(T)\text{USDJPY}0 E^{Q{\text{USD}}}[(\text{EURUSD}T - K \text{JPYUSD}T)^+] $$ 在哪裡 $ Q{\text{JPY}} $ 是 JPY 遠期指標和 $ Q{\text{USD}} $ 是美元遠期指標。 接下來，您可以使用 copula 函式來混合 $ \text{EURUSD}_T $ 和 $ \text{JPYUSD}T $ 在下面 $ Q{\text{USD}} $ :
- 您獲得的邊際 $ \text{EURUSD}_T $ 通過區分關於行使看漲期權 $ \text{EURUSD} $ , 價格從 $ \text{EURUSD}_T $ 波動面。
- 同樣，您獲得的邊際 $ \text{JPYUSD}_T $ 通過區分關於行使看漲期權 $ \text{JPYUSD}_T $ 以美元支付，相當於看跌期權 $ \text{USDJPY}_T $ 以日元支付和反向行使價，定價從 $ \text{USDJPY} $ 波動面
- 你假設一個相關性 $ \rho $ 之間 $ \text{EURUSD}_T $ 和 $ \text{JPYUSD}_T $ ，您將其插入您的 copula 函式（例如高斯 copula）
你現在有一個雙變數模型來定價任何 $ \text{EURJPY} $ 選項，您可以從中推斷（通過應用逆 Black-Scholes） $ \text{EURJPY} $ 波動面。
如您所見，該方法強烈依賴於相關性的估計 $ \rho $ .
事實上，它經常以相反的方式工作：從 3 個波動率表面 $ \text{EURUSD} $ , $ \text{USDJPY} $ 和 $ \text{EURJPY} $ 和上面的方法，可以推斷出隱含的相關性 $ \rho $ , 並將此相關性用於其他目的，例如計算 quanto 的 quanto 漂移調整 $ \text{EURUSD} $ 以日元支付的期權。
有一些關於這種方法的論文。參見例如http://eprints.lancs.ac.uk/45612/1/10.pdf。
我不知道這個問題的答案，只是在這里大聲思考，但如果你假設，比如說，
$$ EURJPY = E_j \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) $$即這裡 EURJPY 的波動性是 $ \sigma $ ，但是您想要 USDJPY，那麼您知道： $$ USDJPY = U_j = E_j U_e $$ 在哪裡 $ U_e $ 是 USDEUR 的隨機變數。現在，您預期的隨機變數是您擁有數據的兩個（可能相關？）隨機變數的乘積。
如果您採用假設它們是（聯合）正態分佈的簡單情況，那麼 USDJPY 的分佈，或 $ U_j $ ，是一個相當複雜的問題 [參見https://mathoverflow.net/questions/11800/what-is-the-probability-distribution-function-for-the-product-of-two-correlated]。
除非我度過了一個糟糕的夜晚並且思想不佳！