如何估計以下模型？
假設我有以下模型：
$$ r_t=\sigma_t * \epsilon_t $$ 在哪裡 $ r_t $ 是時間 t 的回報， $ \sigma_t $ 是波動率，用於模擬這種波動率的模型是具有已知參數的指數加權移動平均線 $ \lambda $ . $ \epsilon_t $ 是根據帶參數的雙曲線分佈的隨機變數 $ \alpha, \beta , \mu, \delta $ .
第一個問題：我如何估計這個模型？
難道我
- 自從 $ \lambda $ 已知，計算 $ \hat{\sigma}_t $ .
- 計算 $ r_t/\hat{\sigma}_t $ 這給出了所謂的標準化殘差。
- 使用標準化殘差估計經典 ML 的雙曲線分佈參數。
或者
- 包括 $ \hat{\sigma}_t $ 在雙曲線分佈的對數概似中並將其最大化，因此這可以稱為“聯合”估計。由於不是正常的 ML 完成，而是估計的 ML $ \sigma $ 包括。
第二個問題：假設波動率由 ARCH 過程建模。
我是否必須使用一個 R 包來聯合估計所有參數，所以輸出給我 ARCH 過程的值和雙曲線分佈的值？
或者我可以使用“正常”的 ARCH 命令（假設 $ \epsilon $ 為 N(0,1) 分佈（我猜）計算 $ \sigma $ . 然後像上面一樣，通過計算計算標準化殘差 $ r_t/\sigma_t $ 並使用這些來估計使用 ML 的雙曲線分佈。您如何看待這種“分裂”的做法？
我建議將聯合密度寫為條件密度的乘積，然後使用優化包估計參數。
聯合密度由下式給出
$$ f(r_0, \ldots, r_T) = f(r_0) \prod_{t=1}^T f(r_t|r_0, \ldots, r_{t-1}) $$ 那麼對數概似函式是
$$ L = \log(f(r_0)) + \sum_{t=1}^T \log(f(r_t | r_0, \ldots, r_{t-1}) ) $$ 由於雙曲線誤差中的參數數量，您在嘗試優化此函式時可能會遇到一些問題。這些參數可能共享相當多的資訊，並導致非常平坦的緩慢收斂概似面。在進行聯合估計時，學生 T 分佈經常發生這種情況 $ \sigma $ 和 $ \nu $ 參數。
請參閱 Ruey S Tsay*金融時間序列分析（第 2 版）*的第 17 頁，以正態分佈為例進行另一個類似的簡短討論
您的模型是錯誤的，EWMA 模型中沒有創新錯誤。實際上，EWMA 模型屬於估計量的移動平均類。然後獲取 $ \sigma_{t} $ 您只需 $ \lambda $ 和 $ r_{t} $ ：波動率由下式給出： $ \sigma =\sqrt{(1-\lambda)\sum_{t=1}^{T} \lambda^{t-1}(r_{t}-r)^{2}} $ .(備註：沒有下標 $ t $ 與波動率項相關：它是一個無條件波動率過程）。粗略地說，EWMA 允許我們計算長期平均變異數。
它基於iid 返回模型：我們獲得一個下標 $ t $ 估計後，因為估計隨時間而變化，但實際上沒有條件變異數過程。
您呈現模型的方式特定於 ARCH 類型模型（條件變異數過程），例如：
條件平均過程： $ r_{t} = \sigma_{t} \epsilon_{t} $
條件變異數過程 $ \sigma_{t} =…. Garch,Figarch,Aparch… $
在哪裡 $ \epsilon_{t} $ 遵循特定的分佈。
ARCH 和移動平均線模型是估計波動性和相關性的“並行”模型，它們不能同時應用。
Ps：據我所知，在MLE估計中 $ \sigma_{t} $ 總是集成在概似函式中。