校準GBM參數時如何繞過平坦概似函式？

我想聯合校準幾何布朗運動的漂移 mu 和波動率 sigma ，

$$ \log(S_t) = \log(S_{t-1}) + (\mu - 0.5*\sigma^2) \Delta t + \sigma*\sqrt{\Delta t}*Z_t $$ 在哪裡 $ Z_t $ 是一個標準的正態分佈隨機變數，我正在通過生成數據來測試它 $ x = \log(S_t) $ 通過

x(1) = 0;
for i = 2:N
 x(i) = x(i-1) + (mu-0.5*sigma^2)*Deltat + sigma*sqrt(Deltat)*randn;
end

和我的（對數）概似函式

function LL = LL(x, pars)
 mu    = pars(1);
 sigma = pars(2);
 Nt = size(x,2);
 LL = 0;
 for j = 2:Nt
   LH_j = normpdf(x(j), x(j-1)+(mu-0.5*sigma^2)*Deltat, sigma*sqrt(Deltat));
   LL = LL + log(LH_j);
 end  

我最大化使用fmincon（因為 sigma 被限制為正），起始值 0.15 和 0.3，真實值 0.1 和 0.2，N = Nt = 1000或 100000 個生成點超過一年（即 $ \Delta t $ = 0.0001 或 0.000001)。

單獨校準波動率會產生一個很好的概似函式，在真實參數附近具有最大值，但對於小的 Deltat（小於 0.1），校準 mu 和 sigma 會持續顯示（對數）概似面在 mu 中非常平坦（至少在真正的參數）；我希望那裡也有一個最大值；出於某種原因，我認為應該可以將 GBM 模型校準為一年內 100 個股票價格的數據系列，使 Deltat = 0.01 的平均值。

非常感謝任何經驗或幫助的分享（我腦海中閃過的想法：概似函式不正確/這是正常行為/數據點太少/數據生成不正確/…？）。

這是優化問題中經常發生的情況，即某個方向幾乎是平坦的。Google“預處理”。基本上這個想法是重新調整變數，以便 Hessian 有大約。對角線上相同數量級的值。

此外，這不是一個固定過程，因此估計 mu 可能很困難。

順便說一句，不確定在這裡使用“normpdf”功能是否是一個好主意。相反，您可能應該只寫出完整的對數概似表達式（但不確定這是否會有所幫助）。不過，這對我來說似乎是正確的。

對數概似函式在 $ \mu $ -direction，用於小時間範圍（您使用 $ T = 1 $ 看起來像）。您可能已經註意到，增加觀察次數但保持時間範圍相同並不能提高估計的準確性 $ \mu $ - 如果你問我，這有點違反直覺。但是，增加時間範圍 $ T $ 確實提高了估計的準確性。要查看此內容，請在此處查看我的問題。

Merton (1980)提出使用貝氏技術，在該技術中，您首先指定 $ \mu $ 並使用貝氏規則推導出新的對數概似函式。這現在被稱為“最大後驗 (MAP)”估計，是嘗試更好地估計 $ \mu $ . 但事實仍然存在：MLE 估計 $ \mu $ 在短時間範圍內是出了名的不准確。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/16426