Hull-White 零息債券價格不取決於波動性？
所以，今天我開始使用赫爾-懷特模型為零息債券定價。一個有趣的特徵是，當 t = 0 時，債券價格實際上並不取決於波動率，因為 A(0,T) 的最後一項消失了。我覺得這很奇怪，因為我想波動性有話要說，尤其是在時間範圍很大的情況下！對此有直覺的解釋嗎？
（赫爾-懷特零息債券價格如下）。
問候！
Hull-White 模型的主要特點之一是它與市場相匹配 $ t = 0 $ .
這意味著在 $ t = 0 $ ，不僅零息債券價格（從零開始）不依賴於波動率，而且也不依賴於均值回歸水平。這些價格僅取決於市場中觀察到的零曲線。
當然，這不應與未來的零債券價格相混淆 $ P(t,T) $ 從 $ t = 0 $ ，它們是隨機變數，因此具有取決於波動性和均值回歸的分佈。
證明 ZC 債券價格為 $ t = 0 $ 匹配市場並且不依賴於模型參數，我將使用不同的（更方便的）公式（參見例如 Andersen 和 Piterbarg，第 10.1.2.2 節），它使用 $ x(t) = r(t) - f(0,t) $ 而不是短期利率 $ r(t) $ . 這導致以下 SDE（保留您的符號）：
$$ \begin{aligned} x(0) &= 0 \ dx(t) &= \left( y(t) - a x(t) \right) dt + \sigma dW(t) \end{aligned} $$
和： $ y(t) = \frac{\sigma^2}{2a} \left(1-e^{-2at} \right) $ .
ZC債券價格由下式給出： $$ P(t,T) = \frac{P^M(0,T)}{P^M(0,t)}\exp \left(-\frac{1}{2}B(t,T)^2y(t) - B(t,T)x(t) \right) $$
在上面的公式中，我使用了上標 $ ^M $ 來表示 $ P^M $ 價格來自市場上觀察到的零曲線。
服用 $ t = 0 $ ， 作為 $ x(0) = y(0) = 0 $ 和 $ P^M(0, 0) = 1 $ ， 我們有：
$$ P(t,T) = P^M(0,T) $$