當短期利率遵循正常過程時，遠期利率動態的含義
在 Brigo 和 Mercurio 的《利率模型 - 理論與實踐》第二版第 3.2.3 節中，CIR 模型所隱含的遠期利率動態推導如下：
風險中性測度下的 CIR 短期利率動態：
$ d r(t)=k(\theta-r(t)) d t+\sigma \sqrt{r(t)} d W^Q(t) $
遠期計量下的遠期利率動態： $ d F(t ; T, S)=\sigma \frac{A(t, T)}{A(t, S)}(B(t, S)-B(t, T)) \exp {-(B(t, T)-B(t, S)) r(t)} \sqrt{r(t)} d W^{S}(t) = \sigma\left(F(t ; T, S)+\frac{1}{\gamma(T, S)}\right) \sqrt{(B(t, S)-B(t, T)) \ln \left[(\gamma(T, S) F(t ; T, S)+1) \frac{A(t, S)}{A(t, T)}\right]} d W^{S}(t) $
$$ Question 1 $$
當短期利率遵循正常過程時，例如如下：
$ d r(t)=k[\theta(t)-\alpha(t)r(t)] d t+\sigma(t) d W^Q(t) $ ,
如果我遵循與 CIR 模型相同的推導，我是否正確地假設遠期速率動態看起來像這樣的移位對數正態過程？
$ d F(t ; T, S)=\sigma(t) (B(t, S)-B(t, T))\left(F(t ; T, S)+\frac{1}{\gamma(T, S)}\right) d W^{S}(t) $
$$ Question 2 $$
然後，如果我進一步假設 $ B(t,T)=T-t $ ，遠期匯率動態將變為
$ d F(t ; T, S)=\sigma(t) \gamma(T, S) \left(F(t ; T, S)+\frac{1}{\gamma(T, S)}\right) d W^{S}(t) $ .
這是否意味著當 $ F(t ; T, S) $ 接近於零，它的行為就像短期波動的正常過程？
是的 $ d F(t ; T, S)=\sigma(t) d W^{S}(t) $ ?
對於第一季度，與遠期相關的 2 個零息債券的比率確實是一個精確的對數正態過程（只需將伊藤引理應用於比率，因為您已經知道 0 息債券的動態。您可以將漂移項視為遠期利率是債券遠期計量中的鞅。）。
然後，只需添加一個標量即可獲得遠期匯率，因此您編寫的遠期匯率的動態從那裡開始。
對於第二季度，你是對的。請注意，這對於短期遠期合約也大致成立（遠期利率遠小於日計數分數的倒數）。