尋找累積簡單收益波動率的良好（近似）函式形式
讓我們考慮一個時期 $ t\in[0,T] $ ，並讓簡單的回報超過一年 $ t $ ( $ 1\le t\le T $ ） 是 $ r_t $ . 認為 $ r_t $ 是 iid 正常。整個時期的累積簡單回報 $ [0,T] $ 是 $$ R_T=\Pi_{t=1}^T(1+r_t)-1. $$ 問題
有沒有很好的函式形式 $ f(T) $ 可以大致捕捉到波動率 $ R_T $ ?
想法
假設iid，不難獲得明確的公式 $ \sigma^2(R_T) $ 如下 $$ \begin{align} \sigma^2(R_T) &=\Bbb E((\Pi_{t=1}^T(1+r_t))^2)-(\Bbb E(\Pi_{t=1}^T(1+r_t)))^2\ &=(1+\Bbb E(r_1^2)+2\Bbb E(r_1))^T-(1+\Bbb E(r_1)^2+2\Bbb E(r_1))^T\ \end{align} $$ 顯然，如果你知道平均值和變異數 $ r_t $ 那麼你就可以完全確定 $ \sigma(R_T) $ 給定任何 $ T $ . 但是，我想要的是一種或多或少“更簡單”的形式（也許是近似的），我們可以輕鬆地擬合曲線，比如 $ \sigma(R_T)\sim aT+b $ 或者 $ \sigma(R_T)\sim aT^\alpha + b $ 等等
到目前為止我只知道當 $ T $ 很小，我們應該期待 $ \sigma(R_T)\sim \sqrt{T}\sigma(r_1) $ ，但這種近似在以下情況下嚴重失敗 $ T $ 很大。
筆記：
確定任何給定收益序列的波動率在計算上很簡單，因此實際上可能不需要這種近似值。
讓我們從年化回報開始 $ r_a $ ，即 $$ r_a = \sqrt[T]{1+R_t}-1 $$
在哪裡 $ R_t $ 是整個時期的累積回報 $ [0,T] $ . 考慮泰勒近似 $$ log(1+y) = y - \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{3}y^3 - \frac{1}{4}y^4 +… $$
取前兩項，你得到： $$ log(1+r_a) \approx r_a - \frac{1}{2}\sigma_{r_a}^2 $$
然而，如果 $ r_a $ 不近似為零，誤差變大。下圖顯示了此錯誤 $ log(1+y) - y $ 區間內 $ y \in [-0.8,0.8] $ :
如果有任何年化回報 $ r_a $ 小於 -39% 或大於 52%，則近似誤差超過 10%！
此外，大多數金融資產收益具有負偏度和尖峰態，因此上述近似值偏向上。實際上，您可以對此進行調整併使用公式 $$ log(1+r_a) \approx r_a - k\frac{1}{2}\sigma_{r_a}^2 $$ ，在哪裡 $ k $ 是一個經驗因子（通常在 5 到 10 之間），請參見此處。
重新排列為您提供了收益序列波動率的近似值： $$ \sigma_{r_a} \approx \sqrt{\frac{2r_a - 2log(1+r_a)}{k}} $$
編輯
OP正在詢問如何擬合曲線 $ \sigma(R_T) $ 按照 $ T $ . 讓我為您提供在 R 中執行的模擬結果。我使用正態分佈的 100,000 每日回報 $ N(0.01/252, 0.005) $ ，所以我假設每年的平均回報率為 1%，標準差為 7.94%（ $ 0.005 \cdot \sqrt{252} $ ):
set.seed(100) r = rnorm(100000, .01/252, .005) ## Vector containing the cumulative simple return up to T cum <- vector(mode = "numeric", length = 100000) ## Vector containing the volatility up to T vola <- vector(mode = "numeric", length = 100000) for(i in 1:100000){cum[i] <- prod(1+r[1:i])} for(i in 1:100000){vola[i] <- sd(cum[1:i])} ## vola[1] is NA due to vola[1] <- sd(cum[1:1]), ## so we set it to zero vola[1] <- 0 summary(cum) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.8405 1.2581 2.1961 5.1116 5.0303 36.2721 summary(vola) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000 0.1775 0.4096 1.1516 1.1164 6.3274下圖顯示了變數
vola，即 $ \sigma (R_T) $ 為了 $ T \in [0; 100,000] $ :我們看到，那 $ \sigma (R_T) $ 是非線性的並且隨時間增加。我實現了你建議的回歸$$ \sigma(R_T)\sim aT^\alpha + b $$使用時間 $ T $ 單步 $ \frac{1}{100,000} $ ，這導致：
## set up variable time time <- seq(0, 1, 0.00001) ## eliminate first value of time which is zero, ## so we have single time steps of 1/100,000 time <- time[-1] reg <- nls(vola ~ a*(time^alpha)+b, start = list(a=1, alpha=1, b=1)) summary(reg) Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) a 5.914458 0.003736 1582.9 <2e-16 *** b 0.208985 0.001096 190.7 <2e-16 *** alpha 5.274693 0.006115 862.6 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.245 on 99997 degrees of freedom Number of iterations to convergence: 7 Achieved convergence tolerance: 1.396e-06總之，您建議的非線性回歸模型似乎很有用。但是，我的起始值是隨機選擇的，因此您可以嘗試評估其他配置是否不會嚴重影響結果。您可能想嘗試使用 (Generalized) Linear Models實現此自動模型選擇的glmulti R-package 。
