變異數互換中比例因子背後的直覺
在關於波動性掉期的更多資訊中，未來變異數掉期的公允價值可以從看漲期權和看跌期權的市場價格中複製出來。公平的看跌期權和看漲期權被證明是
$ K_{var} = \frac{2}{T}\left( rT - \left(\frac{S_0}{S_}e^{rT} - 1 \right) - \log \frac{S_}{S_0} + e^{rT}\int_0^{S_} \frac{1}{K^2} P(K)dK + e^{rT}\int^\infty_{S_} \frac{1}{K^2} C(K)dK \right) $
在哪裡 $ P(K) $ 是目前的市場看跌價格和 $ C(K) $ 是市場呼叫價格。
對比例因子有直覺嗎 $ \frac{1}{T\cdot K^2} $ ? 它也出現在離散版本的變異數估計或VIX 計算中。
德曼等人。還指出它提供了“期權的市場成本與捕捉未來已實現波動率的策略之間的直接聯繫，即使存在隱含波動率偏斜並且簡單的 Black-Scholes 公式無效”。所以我認為有一個不考慮模型的風險中性外賣。
我相信你想知道為什麼 VIX 是一個加權的看漲和看跌投資組合，其權重與 $ \frac{1}{K^2} $ （注意：顯然 T 是用來調整成熟時間的，因此不是很有啟發性）。
讓我們從基礎開始。正如Breeden 和 Litzenberger (1978)所示，期權價格關於行使價的二階導數與風險中性機率成正比，即 $ \frac{\partial^2C}{\partial K^2}=\frac{\partial^2P}{\partial K^2} \propto q(K) $ 在哪裡 $ q(K) $ 是風險中性 pdf $ K $ . 直覺是一隻無限緊密的蝴蝶四處張開 $ K $ 給了我們風險中性的可能性 $ K $ .
現在我們有了 $ q(K) $ 我們原則上可以建構任何期望的收益 $ f(S_T) $ ， 鑑於
$$ price(f(S_T))=e^{-rT}E^Q[f(S_T)]=e^{-rT}\int_0^\infty f(K)q(K)dK=\int_0^\infty f(K) \frac{\partial^2C}{\partial K^2}dK $$如果您按部分積分前面的積分並假設函式在邊界處表現良好，如此處所示，您將獲得： $$ price(f(S_T))=e^{-rT}f(F)+\int_0^F\frac{\partial^2 f}{\partial K^2}\left(K\right)P(K)dK+\int_F^\infty\frac{\partial^2 f}{\partial K^2}\left(K\right)C(K)dK $$在哪裡 $ F $ 是目前的遠期價格， $ C $ 和 $ P $ 是看漲和看跌的價格。 如Neuberger所示，如果價格遵循幾何布朗運動，即 $ dS=S\mu dt+S\sigma dW $ ， 然後
$$ log E^Q[S_T]-E^Q[log S_T]\propto\sigma^2 $$（注意：只需寫下正態分佈的累積量生成函式）。這表明在對數正態股票價格下，如果我們設置 $ f(S_T) $ 我們可以恢復隱含波動率（注意：隱含風險中性變異數，但由於 Girsanov 定理在連續時間擴散中物理變異數和風險中性變異數相等。）因此，您可以立即看到恢復對數的價格您必須計算的契約 $ \frac{\partial^2}{\partial K^2}log(K)=-\frac{1}{K^2} $ . 這就是為什麼在 VIX $ ^2 $ 計算權重與 $ K^2 $ . 順便說一句，如果您對對數正態範式之外的風險中性變異數感興趣，則足以注意到 $ Var^Q(S_T)=E^Q[S_T^2]-E^Q[S_T]^2 $ ，因此如果你設置 $ f(S_T)=S_T^2 $ 然後你會注意到 $ \frac{\partial^2}{\partial K^2}K^2=1 $ 因此：
$$ Var^Q(S_T)=…\int_0^F P(K)dK+\int_F^\infty C(K)dK $$