絕對收益的自相關僅僅是波動率爆發的結果嗎？
在 Pfaff 的“使用 R 進行財務風險建模和投資組合優化”中，陳述了以下典型事實（其中包括第 26 頁）：
- 收益過程的波動性在時間上不是恆定的。
- 絕對或平方收益是高度自相關的。
書中以下 R 程式碼用於說明上述兩種說法中的後者：
library(fBasics) library(evir) data(siemens) SieDates <- as.character(format(as.POSIXct(attr(siemens, "times")),"%Y-%m- %d")) SieRet <- timeSeries(siemens*100, charvec = SieDates) colnames(SieRet) <- "SieRet" SieRetAbs <- abs(SieRet) acf(SieRetAbs, main = "ACF of Absolute Returns", lag.max = 20, ylab = " ", xlab = " ", col = "blue", ci.col = "red")它生成下面的圖片：
但類似的結果可以通過將單次波動率引入正態分佈且波動率恆定的收益序列中來實現，如下面的程式碼所示：
Random <- do.call(c, lapply(c(0.8, 1.5, 0.8), function(x) rnorm(2000, sd=x) ) ) RandomAbs <- abs((Random)) acf(RandomAbs, main = "ACF of RANDOM Returns", lag.max = 20, ylab = " ", xlab = " ", col = "blue", ci.col = "red")它生成以下內容：
“隨機”本身如下所示：
是否可以在數學上證明這種波動率的變化會產生類似於上述的絕對收益的 ACF？事實是否相反？
在@JejeBelfort 與我分享的 Cont 文章“金融市場中的波動性分群：經驗事實和基於代理的模型”中，您可以閱讀：
這一事實的量化表現
$$ volatility clustering $$是，雖然收益本身是不相關的，但絕對收益 $ |r_t| $ 或它們的平方顯示正的、顯著的、緩慢衰減的自相關函式： $ corr(|r_t |, |r_{t+\tau} |) > 0 $ 為了 $ \tau $ 從幾分鐘到幾週不等。
但是為什麼“波動性分群”意味著絕對收益的正自相關呢？
回報會在哪裡
大變化之後往往是大變化，無論是哪個符號，小變化之後往往是小變化。
總是產生類似於上面的abs返回的ACF？
我認為@zer0hedge 建構了一個聰明的例子來證明波動性引發波動性的程式化事實所暗示的內容。
得出波動率爆發是一種絕對自相關的結論是正確的。所有的波動率爆發都表現出絕對收益自相關的特徵，但所有類型的絕對收益自相關都會表現出波動率分群的特徵嗎？
我說不，因為這種解釋忽略了絕對回報可以顯示自相關跡象的其他方式。
為了證明假定波動率是隨機的（例如，非平穩的均值回歸過程）的程式化事實，我們可以重寫一個修改後的 GBM（類赫斯頓模型）：
$ \dfrac{dS_t}{S_t} = \mu \Delta t + \sigma_t \sqrt{\Delta t}*dZ_1 $
$ d \sigma^2_t \propto \eta ,\sigma \sqrt{\Delta t}*dZ_2 $
和：
$ \langle dZ_1 , dZ_2 \rangle = \rho , dt $
在哪裡： $ dZ_1 $ 和 $ dZ_1 $ 是維納過程； $ \eta $ 是波動率的波動率；和， $ \rho $ 是回報和變化之間的相關性 $ \sigma^2_t $ .
如果我們把期望與 $ \rho =0 $ ，則相應的時間序列將不會產生絕對回報的自相關，因為：
$ \sigma _{Z_1+Z_2}={\sqrt {\sigma _{Z_1}^{2}+\sigma _{Z_2}^{2}+2\rho , \sigma _{Z_1}\sigma _{Z_2}}} $
或者，零相關性的淨效應是兩個疊加隨機變數的期望值將與簡單地提高確定性波動率的期望沒有區別，因為兩個正態分佈的隨機變數的總和是正態分佈的。
然而，如果我們假設回報是趨勢的（即，價格動能正在加速/減速；即， $ \mu_t $ 是自相關的）那麼我們也應該期望觀察到絕對收益的自相關。
例如，說 $ \mu_t $ 是一個函式 $ t $ ，例如：
$ d\mu_t \propto \mu_{t-\Delta t}\alpha\sqrt{t} $
在哪裡： $ \alpha $ 是自相關係數。
如果收益的變化率與先前的收益相關，那麼即使在沒有隨機波動和/或波動分群/爆發的情況下，絕對收益的值也是相關的。或者，很簡單：
$ \mid \frac{dS_t}{S_t} - \mathbb{E}[\frac{dS}{S}]\mid \approx \sqrt{(\frac{dS_t}{S_t}-\mathbb{E}[\frac{dS}{S}])^2} $
有這麼多符合觀察的合理模式，它們中的任何一個與占星術有什麼顯著不同？