是否存在處理槓桿效應的 HAR？
EGARCH 是一種特殊的 GARCH 模型，用於處理波動率的槓桿效應。HARV 不區分負回報和正回報。是否有一種特殊的 HARV 可以處理槓桿效應？如果不是，是否有理由說明槓桿效應對 HARV 可能不重要？
存在對 HAR 模型的修改，它解釋了高頻設置中的槓桿效應（á la GJR-GARCH）。
半變異數 HAR 模型，稱為Patton 和 Sheppard (2015)的 SHAR 模型，將原始 HAR 模型中的第一個波動率分量分解為已實現的半變異數，因此試圖處理高頻的槓桿效應設置，通過觀察過去的負回報如何影響未來的波動性。為清楚起見，讓我們將 HAR 模型的波動性分量定義為：
$$ \begin{equation} RV_{t-1}^{(day)} = RV_{t-1}^{(n)}, \qquad RV_{t-1}^{(week)} = \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5}RV_{t-k}^{(n)}, \qquad RV_{t-1}^{(month)} = \frac{1}{22}\sum_{k=1}^{22}RV_{t-k}^{(n)}, \end{equation} $$ 假設一個月有 22 天，並且 $ n $ 是日內數據量。現在將第一個波動率分量分成正負部分： $$ \begin{equation} RV_{t-1}^{(day)} = RV_{t-1}^+ + RV_{t-1}^-, \qquad RV_{t}^+=\sum_{i=1}^n r_{t,i}^2 1_{{r_{t,i}>0}}, \qquad RV_{t}^-=\sum_{i=1}^n r_{t,i}^2 1_{{r_{t,i}<0}}. \end{equation} $$ 請記住，上述分解僅在單變數設置中成立。那麼，SHAR 模型可以描述為$$ \begin{equation} RV_t = \phi_0 + \phi_1^+ RV_{t-1}^+ + \phi_1^- RV_{t-1}^- +\phi_2 RV_{t-1}^{(week)} + \phi_3 RV_{t-1}^{(month)} + u_t, \end{equation} $$ 我們期望的地方 $ \phi_1^+ = \phi_1^- = \phi_1 $ 如果沒有從分解中添加其他資訊。如果我們預計負收益對未來波動性的影響更大，那麼 $ \phi_1^+ < \phi_1^- $ （這是他們在實證分析中發現的）。他們進一步嘗試在上述回歸中包含一個帶符號的跳躍項， $ \phi_J \cdot \Delta J_t^2 $ 和 $ \Delta J_t^2 = RV_t^+ - RV_t^- $ ，探索帶符號的跳躍在未來變化中的作用。如果 $ \phi_J<0 $ , 那麼以負跳躍為主的日子會導致更高的未來波動率，而以正向跳躍為主的日子會導致較低的未來波動率 ( $ \phi_J<0 $ 從經驗分析中也可以觀察到）。
雖然我絕對鼓勵您閱讀這篇論文，但我將重點介紹上述論文中的一些主要發現，這可能會讓您有更細緻的理解：
- **主要結論 1：**對於一組 105 只個股，他們發現負半變異數對未來波動率的影響比正的已實現半變異數更大、更顯著，並且解開這兩個分量的影響顯著改善了對未來波動率的預測. 這是高頻環境中槓桿效應的經驗證據。
- **主要結論 2：**他們還發現，有符號的跳躍變化對於預測未來波動率很重要，歸因於負躍遷的波動率會導致未來波動率顯著升高，而正躍遷會導致波動率降低。
- 作者進一步建構了一項小型研究，與簡單槓桿效應變數的實現版本相比，負半變異數是否提供任何改進的好處， $ \nu RV_t{1}_{{r_t<0}} $ . 他們得出的結論是，與使用指標函式作為滯後日回報符號的常用方法相比，負半變異數更好地捕捉了過去負回報對未來波動率的不對稱影響。用未實現的版本（在 GJR-GARCH 模型中找到）替換已實現的槓桿效應變數，使結果更加顯著。
- 有人認為，每周和每月變異數的分解效果不太明顯，因此（通常）將其排除在外，以遵守簡約原則。
我希望這能提供一些幫助。