第二天的波動是可以預測的嗎？到什麼程度？
以更一般的方式：是否存在
- 一種量化模型正確性的方法，該模型為下一個交易日的標準普爾 500 指數回報率產生機率分佈？和
2）這樣的分佈家族的良好建模框架？
最簡單的答案是：使用VIX，以它為標準差的對數正態模型是市場認為最佳假設的模型。好的，沒問題，但是：市場真的假設一日收益分佈是對數正態的嗎？每個人都知道，“內心深處”，它沒有。所以 VIX 不是我們要找的東西，對嗎？或者，有一種有效的機率方法表明對數正態性和 VIX 足以作為預測？
一個澄清：我想，我們需要某種方法來獲取每天的模型分佈，獲取預測所針對的每一天的已實現回報，並相互“比較”。這種模型驗證的任何方法？
任何有用的連結或書籍或建議將不勝感激。
仔細閱讀後，這似乎是 3 個（有趣的）問題，而不是一個。我不確定mods是否有拆分它所需的工具，所以我只是將我看到的三個問題寫下來，然後一一處理。請注意，我更容易談論變異數而不是波動性。這對答案沒有實質性影響。
**問題 1：**提前一天收益的變異數可以預測嗎？
**問題 2：**提前一日收益的分佈是否可預測？
**問題 3：**有哪些方法可用於事後評估變異數預測模型或收益分佈預測模型？
我的答案將使用一個通用的符號，所以我從這個開始：
讓 $ p_{n,t} $ 表示 $ n^{th} $ 交易於 $ t^{th} $ 金融市場上某些風險資產的一天。為簡單起見，我們假設市場全天 24 小時開放，例如外匯市場。我只是做這個假設，所以在談論高頻數據時我可以跳過處理討厭的機構細節。讓 $ N+1 $ 表示每天的交易數量，並且再次為簡單起見，假設其中一個交易發生在從一天到下一天的確切翻轉時間。日內連續複利的序列 $ t $ 因此可以定義 $ r_{n,t} = \log(p_{n,t}) -\log(p_{n-1, t}) $ . 通過構造，每日回報為：
$$ \begin{equation} r_t = \log(p_{N,t}) - \log(p_{0,t}) = \sum_{n=1}^N r_{n,t} \end{equation} $$
好的，我們開始吧。
**答案 1：**假設我們在時間 $ t $ . 那麼前一日收益的變異數為 $ \mathbb{V} r_{t+1} $ . 這是一個無條件的變異數。在我們做任何其他事情之前，讓我們問一個非常簡單的問題：這個數量存在嗎？眾所周知，每日財務收益的無條件分佈是嚴重肥尾的，這導致幾位作者嘗試測試每日收益的無條件二階矩的存在。一般來說，這是一件很難測試的事情（在嚴格的統計框架中），所以與其將你指向大量的學術文獻，不如看看 Nassim Taleb 或 Benoit Mandelbrot 等作者提出的一些更具啟發性的證據。
但是，根據您的問題，我懷疑您對每日收益的*條件分佈更感興趣。*處理這個問題的最著名的文獻可能是 ARCH/GARCH 鏈，它部分負責使原作者（Rob Engle）獲得諾貝爾獎（嗯，瑞典皇家科學院頒發的諾貝爾獎）。
這一系列文獻提出了一組時間波動率模型 $ t+1 $ 基於時間 $ t $ 資訊。最著名的可能是 GARCH 模型： $ \sigma_{t+1}^2 = \omega + \alpha \epsilon_t^2 + \beta \sigma_t^2 $ ， 在哪裡 $ \epsilon_t $ 是隨機性的來源，有時設置為 $ r_t $ . 這個模型有預測能力嗎？
1990 年代有不少論文通過 Mincer-Zarnowitz 回歸方法（Mincer, Zarnowitz (1969) “經濟預測評估”）表明它幾乎沒有預測能力。這些回歸涉及對您嘗試預測的數量的預測進行回歸。當然，我們在這裡試圖預測的數量是不可觀測的。因此，作者使用平方每日收益作為代理。這被證明是一個糟糕的選擇，因為雖然它對於真實變異數是無偏的，但它也是一個非常嘈雜的代理。在經典論文 Andersen, Bollerslev (1998) “Answering the Skeptics: Yes, Standard Volatility Models do Provide Accurate Forecasts” 中，表明 90 年代初期糟糕的預測評估結果純粹是代理中雜訊的結果. Andersen 和 Bollerslev 使用了更準確的代理，即 Merton (1980) “估計市場預期回報”（在附錄中）首次提出的“實際變異數”。實現的變異數只是日內收益的平方和，即
$$ \begin{equation} RV_t = \sum_{n}^N r_{n,t}^2 \end{equation} $$
在理想的建模假設下，可以證明 $ RV_t $ 收斂到一個稱為二次變分的量，為了回答這個問題，我們假設它等於 $ \mathbb{V} r_t | \sigma_t = \sigma_t^2 $ （對此進行更深入的討論充滿了陷阱和低級假設，不適合回答這個問題）。因此，Andersen 和 Bollerslev 只是使用了一個噪音少得多的代理。他們能夠證明，事實上，條件波動率模型實際上對日變異數具有相當好的預測能力。
最近，已經提出了其他類別的變異數預測模型，例如隨機波動率模型，或者可能是最有趣的預測模型，它使用諸如已實現變異數之類的估計量作為輸入。這些模型已被證明具有至少與條件波動率模型一樣好（並且可能比條件波動率模型更好）的預測能力。
正如你提到的，另一個候選人是 VIX。對此我五味雜陳。首先，在文獻中眾所周知（不記得我頭頂上的參考），有些時期 VIX 將是對真實波動率的顯著偏差預測（也就是說，事後，人們可以顯示幾個月的 VIX 預測一直過大或過小的時期）。另一方面，使用 VIX 有充分的理論理由，儘管它們都是基於將價格過程建模為連續時間半鞅…我正在這裡進行另一個充滿危險和陷阱的討論，所以最好就這樣吧。當然，我預計 VIX 的表現會大大優於向飛鏢板投擲飛鏢的猴子。
所以總而言之，有很多方法可以預測變異數，並且有充分的證據表明它們工作得很好。我將在答案 3 中多談一些預測評估的具體方法。
**答案 2：**在某些建模假設下，這個問題的答案與上一個問題的答案相同。具體來說，如果：
$$ \begin{equation} r_t | \sigma_t \backsim \mathcal{N}(0, \sigma_t^2) \end{equation} $$
那麼變異數的預測模型等價於分佈的預測模型。
那麼我們有什麼證據來支持上述日收益條件分佈的模型呢？
如果我們知道 $ \sigma_t^2 $ ex post，那麼這樣的模型將很容易測試。只需對序列應用 Kolmogorov-Smirnov 檢驗 $ r_t / \sigma_t $ 標準正態分佈生成的序列為空。不幸的是，如前所述， $ \sigma_t $ 是不可觀察的。但是，正如前面在這個答案中提到的，我們確實知道 $ RV_t \rightarrow \sigma_t^2 $ 在某些建模假設下。因此，在 Andersen、Bollerslev、Diebold 和 Ebens（2001 年）“已實現股票收益波動率的分佈”中，作者研究了序列 $ r_t / \sqrt{RV_t} $ 並發現它非常接近標準法線（參見該論文的圖 1）。觀察到的與標準正常的輕微偏差很容易是由於存在於 $ RV_t $ 作為真實變異數的代表，因此證據非常強烈地支持以下建議 $ r_t | \sigma_t \backsim \mathcal{N}(0, \sigma_t^2) $ .
當然假設 $ \mathbb{E} r_t = 0 $ 顯然是錯誤的，然而，在短短一天的時間範圍內， $ r_t $ 通常假設相對於（條件）變異數足夠小 $ r_t $ 假設 $ \mathbb{E} r_t = 0 $ 是相對無害的（並且無限優選地用一個非常嘈雜的估計器代替 $ \mathbb{E} r_t $ ）。在實踐中，這對許多從業者來說並沒有多大用處，他們對條件均值的日子非常感興趣。 $ r_t $ 不為零。目前（並且可能永遠）這是金融經濟學和金融計量經濟學中的一個開放性問題。
那麼非正態分佈呢 $ r_t $ ? 我們已經討論過無條件分佈顯然是肥尾的，甚至可能沒有有限變異數。關於其他建模假設，已有大量文獻，例如分佈函式的自回歸模型等，但它們都相當繁重，可能不是您真正想要的。
唯一的例外是預測分佈的特定參數，即分位數。由於風險價值的廣泛使用，這受到了很多關注。在我的腦海中，不做任何正態性假設的分位數預測模型包括那些基於極值理論的模型，以及在 Engle, Manganelli (2004) “CAViaR: Conditional Autoregressive Value-at -回歸分位數的風險”。
總而言之，是的，條件機率分佈 $ r_{t+1} $ 如果願意假設 $ r_t | \sigma_t \backsim \mathcal{N}(0, \sigma_t^2) $ . 這種預測準確性來自上面答案 1 中討論的預測準確性。
**答案 3：**我們可以將這個答案分為兩部分：1）評估每日變異數預測程序的方法，以及 2）評估每日收益分佈的預測程序的方法。
有幾種方法可以評估預測模型的每日變異數。現存文獻中最流行的是通過基於損失的方法，例如 Diebold, Mariano (1995) “比較預測準確性”，West (1996) “關於預測能力的漸近推斷”，White (2000) “A Reality Check For Data Snooping “, Hansen (2005) “A Test for Superior Predictive Ability” 或 Hansen, Lunde and Nason “The Model Confidence Set”。所有這些方法，無論以何種方式，都只是評估預測與我們試圖預測的事物之間的距離（對於某些適當選擇的指標）。當然，預測目標是不可觀測的，所以我們使用上面提到的替換代理的相同技巧。對於粗心的人來說，這裡隱藏著一些令人驚訝的技巧，例如，參見 Patton (2011) “使用不完美波動率代理進行波動率預測比較”。總而言之，如果您的代理是一個相當好的代理，例如高交易資產的已實現變異數，那麼您可以使用任何您想要的損失函式，但如果您使用更嘈雜的代理，例如每日收益的平方，您需要將您的分析限制為一類“穩健”的損失函式。
接下來是評估機率分佈預測的方法。這在文獻中沒有受到太多關注。為什麼？好吧，金融經濟學的很大一部分是基於連續時間半鞅模型。特別是，通常會做出以下具體假設：
$$ \begin{equation} dp_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t \end{equation} $$
在哪裡 $ \mu_t $ 和 $ \sigma_t $ 服從一些有界條件，並且 $ W_t $ 是維納過程。很明顯，該模型將建議每日收益應建模為有條件的正常（條件為 $ \mu_t $ 和 $ \sigma_t $ ）。因此，其他分佈假設根本不會出現那麼多。
不要誤會我的意思，我並不是特別喜歡這個假設（甚至是上面的模型）。儘管如此，這就是目前的情況。
為了總結這個答案，您在問題中提到了某種特殊程序，用於查看事後每日回報並查看它們是否符合分佈預測模型的某些問題。這樣的過程可能不需要太多額外的工作就可以用於無條件分發，但對於**有條件分發來說，它有點困難。與答案 2 一樣，在這一領域已經針對條件分佈的一個特定方面（即分位數）進行了一些工作。您可能有興趣查看 Christoffersen (1998) “評估區間預測”或 Engle, Manganelli (2004) “CAViaR: Conditional Autoregressive Value-at-Risk by Regression Quantiles”中的動態分位數 (DQ) 測試。事後每日回報，並分析相對於 VaR 預測模型預測的 VaR 違規次數。
如果您想將事後回報與整個條件分佈的預測進行比較，我認為您需要大量的每日回報才能準確地做到這一點。我絕對可以想出一種使用日內數據的方法，但這是一個很長的故事，這已經是一個很長的答案了。
乾杯，我希望做到這一點的讀者不要覺得他們在浪費時間。
科林