局部波動率、隨機波動率、隱含波動率
過去幾天我一直在研究波動率模型；特別是局部波動率、隨機波動率、隱含波動率之間的聯繫。我一直在閱讀 Gatheral 的書“波動性表面”。我發現很難遵循。我還閱讀了 Willmott 的 Quant Finance 書中的相關章節。總的來說，還有哪些其他很棒的資源可以學習這個主題？我不是在尋找最高級的論文，而是一些介紹性/中級材料。我的背景是應用數學和金融。我知道這篇論文很受歡迎：https ://arxiv.org/pdf/1204.0646.pdf 。尋求有關該主題的任何幫助，謝謝。
除了 Gatheral 的書，我還推薦閱讀 Lorenzo Bergomi 的“隨機波動率建模”。前 2 章可在他的網站上下載。話雖如此，讓我試著給你一個基本的畫面。
下面我們假設股票遠期曲線 $ F(0,t)=\Bbb{E}_0^\Bbb{Q}[S_t] $ 為所有人提供 $ t $ 小於某個相關的成熟度 $ T $ . 風險中性漂移 $ \mu(t) $ 是從考慮純擴散框架（即沒有跳躍）的前向曲線推斷出來的。貼現曲線和無風險利率也是如此 $ r(t) $ . 我們還假設市場上沒有套利。
隱含波動率
正如 Rebonato 所說：隱含波動率是輸入錯誤公式以獲得正確價格的錯誤數字。
因此，您應該將其視為描述普通期權價格的替代和等效方法：您可以找到波動率數據，而不是使用期權的市場價格 $ \sigma $ 插入 Black-Scholes 定價公式 - 連同適當的遠期價格和折扣因子 - 以恢復以前的價格。只有 1 個這樣的數字，因為 BS 價格是從波動率到價格空間的一對一映射，所有其他條件都相同。
如果您對所有列出的到期日都執行此操作 $ T={T_1,\dots,T_N} $ 以及所有列出的罷工 $ K={K_1,\dots,K_M} $ ，你最終會得到所謂的（離散的）隱含波動率表面 $ \Sigma(T,K) $ 對應價格 $ V(T,K) $ .
你提到的這篇論文是研究如何從這個離散的 $ T \times K $ 通過依賴某些特定的參數化（此處為 SVI）將 IV 曲面規範為連續曲面，其目的是在對原始數據點進行插值/外推時排除套利機會。
局部波動
是函式 $ \sigma_{LV}(t,S) $ 這樣當使用以下股票現貨價格的一維馬爾可夫擴散模型時
$$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu(t) dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$ 任何價格 $ (T,K) $ 模型返回的與市場價格完全吻合 $ V(T,K) $ ，或者等價於我們剛剛看到的，允許回退到完全相同的波動率表面 $ \Sigma(T,K) $ . Dupire 的開創性工作表明，根據之前的定義，局部波動率函式應該驗證（另見推導here）
$$ \sigma_{LV}^2(t=T, S=K) = \frac{\Sigma^2 + 2\Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial T} + \mu(T)K \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)} {\left( 1-\frac{Ky}{\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)^2
- K \Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial K}
- \frac{1}{4} K \Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right) ^2
- K \frac{\partial^2 \Sigma}{\partial K^2} \right)} \tag{1} $$ 在哪裡 $ y = \text{ln}(K/F(0,T)) $ 和 $ \Sigma = \Sigma(T,K) $ . 反過來，在 Bergomi 的書的第 2 章以及 Gatheral 的書中，都顯示了隱含波動率如何被視為局部波動率的加權期望，例如參見 Bergomi 書中的方程 (2.32) 和 (2.33)。
隨機波動
相當於考慮了一個擴散模型的形式
$$ \begin{align} \frac{dS_t}{S_t} = \mu(t) dt + \sigma_t dW_t^S \ d\sigma_t = \alpha(t,\sigma_t) dt + \beta(t,\sigma_t) dW_t^\sigma \end{align} $$ 兩個驅動布朗運動之間存在一些相關性。對數回報的瞬時波動 $ \sigma_t $ 這次是隨機的，因此得名。與普通期權價格沒有直接的內在聯繫。話雖如此，這個建模框架允許產生波動微笑，因此可以根據市場進行校準。 如果您想校準模型以便恢復普通期權價格，您可以訴諸 Gyöngy 定理（也在 Gatheral 和 Bergomi 中討論過）和 $ \sigma_t $ 應該滿足
$$ \Bbb{E}0^\Bbb{Q} \left[ \sigma_t^2 \vert S_t = S \right] = \sigma^2{LV}(t,S) \tag{2} $$ Bergomi 的書中再次詳細研究了利弊。更進一步，您可以查看正向變異數模型和局部隨機波動率模型。
$$ TL;DR $$
- 隱含波動率是普通期權價格和特定模型數量之間的一對一映射——布萊克-斯科爾斯波動率。
- 局部波動更進一步，通過創建一個與所有普通期權價格而不是一個的一對一映射。這依賴於現貨動態的一維馬爾可夫表示，其中對數回報的瞬時變異數始終取決於現貨價格水平（完整模型）。
- 隨機波動相當於考慮一個二維擴散框架，其中股票對數回報的瞬時變異數是一個單獨的隨機因素（不完整模型）。儘管該模型允許產生 IV 微笑，但與市場沒有“內置”聯繫。當隨機波動率模型針對市場進行校準時，由於手頭的模型參數數量有限，通常不可能匹配所有普通期權價格。
- 方程 $ (1) $ 和 $ (2) $ 在 3 個相關量之間建立聯繫。