局部波動率實施
Dupire 方程是眾所周知的，並在數千篇文章中被提及。雖然我找不到很多關於實現公式的一致和正確方法的文件（困難主要是正確估計導數）。
我想提出的問題尤其是如何正確估計該公式中使用的導數。
例如，我為不同的行使價和到期日推導出了一個期權價格網格。網格應該非常密集，對於給定的到期時間有 200 多個價格。可以說網格是一致的並且不承認任何套利。我的理解是通過使用中心有限差分方案來估計關於 T 和 K 的導數，並帶有向前/到期的 epsilon 凸起：
1. Estimate the derivative of option with respect to T by a bump of T 2. Estimate the second order derivative with respect to K 3. Apply the Dupire formula.是否有任何衍生計算方法來開發完整且一致的局部波動率定價器？
通常的方法是將曲面（例如平滑樣條）擬合到網格併計算曲面的導數。但是請注意，當將 Dupire 公式直接應用於隱含波動率表面而不是期權價格表面時，整個過程往往更加穩定。Dupire 公式應用於隱含 vol 曲面時 $ \Sigma(K,T) $ 是
$$ \sigma_{\text{loc}}(K,T)^2= \frac{\Sigma^2 + 2T \Sigma\left(\frac{\partial \Sigma}{\partial T} + \mu_T K \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)}{\left(1+d_1 K \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \sqrt{T} \right)^2 + T \Sigma K^2 \left(\frac{\partial^2 \Sigma}{\partial K^2} - d_1 \sqrt{T}(\frac{\partial \Sigma}{\partial K})^2 \right)} $$ 在哪裡 $ \mu_T $ 是股票漂移項（可能是時間相關的，當適合前鋒時）和 $ d_1 $ 就像在 BS 公式中一樣。