每日槓桿產品（槓桿 ETF）收益衰減的數學解決方案

每日槓桿 ETF 具有內在的路徑依賴性。3 天表現（5%、-5%、5%）的指數的整體表現為 2.9%。-1x 槓桿 ETF 的表現將是 -3.1%。在較高的波動率下，例如（10%、-10%、10%），該指數將上漲 8.9%，但 -1x 產品將損失 -10.9%。衰減增加了。

我們可以蒙特卡羅模擬槓桿產品的回報，見本文末尾我的 R 腳本。

我的問題是，是否存在僅基於標準差的數學解決方案來計算預期性能（給定標準差和基礎指數性能）。

在 Proshares -1x Short S&P500（“SH”）的招股說明書中，我們找到了下表（連結第 5 頁）。

Proshares 是如何計算這些回報的？我的蒙地卡羅模擬在高波動性下產生不同的值。

這是我的結果（使用下面的腳本）。在高波動性時，它完全關閉。

library(tidyverse)
library(scales)

mu <- c(-6:6/10)
sigma <- c(0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 1)
N <- 252
n <- 100

simulation <- tibble()
for (m in mu) {
 for (s in sigma) {
   print(paste0("mu: ", m))
   print(paste0("sigma: ", s))
   for (i in 1:n) {
     out <- tibble(t = 1:N,
                   r1 = rnorm(n = N, mean = (1+m)^(1/252)-1, sd = s/sqrt(252)),
                   `r-1` = -1*r1) %>% 
       mutate(mu = m, 
              sigma = s,
              i = i)
     
     simulation <- bind_rows(out, simulation)
   }
 }
}

simulation %>% 
 group_by(i, mu, sigma) %>% 
 summarise(`r-1` = prod(1+`r-1`)-1) %>% 
 group_by(mu, sigma) %>% 
 summarise(`r-1` = mean(`r-1`)) %>% 
 pivot_wider(names_from = sigma, values_from = `r-1`) %>% 
 mutate_all(percent, accuracy = 0.01)

這是你想要的？

槓桿和反向交易所交易基金的動態，Minder Cheng 和 Ananth Madhavan，投資管理雜誌 (JOIM)，2009 年第四季度

https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.1073.6502&rep=rep1&type=pdf

這裡是第 31 頁

槓桿和反向 ETF 的動態，Minder Cheng 和 Ananth Madhavan

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.q-group.org/wp-content/uploads/2014/01/Madhavan-LeverageETF.pdf&ved=2ahUKEwiLsLirpYnzAhVwhf0HHRtPCO8QFnoECAcQAQ&usg=AOvVaw11YhLnPBTjXPyKblDd_BnE

它來自哪裡

槓桿 ETF 的結構滑點，Marco Avellaneda，Doris Dobi

https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2127738

希望能幫助到你

編輯（添加公式）：

來自 Cheng 和 Madhavan (2009)，第 13 頁此答案中的第一篇連結論文。

$$ r_{x} = (1+\mu)^x \times \text{exp}\Bigg(\frac{(x-x^2)\sigma^2t_N}{2}\Bigg) $$

和 $ x $ 作為槓桿因素， $ r_x $ 槓桿產品的預期收益， $ \mu $ 每日預期回報（每年除以天數）， $ \sigma $ 每日預期標準偏差（每年除以天數的平方根），以及 $ t_N $ 天數（例如 252）。

這給出了與 Proshares 在其招股說明書中報告的完全相同的值。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/68002